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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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mesure

Posté par
maxxiiime
24-11-20 à 00:45

Soit (E,T,v) un espace mesurable, et soit f : E \rightarrow [0,\infty]
tex] une fonction T-mesurable.
Ceci signifie par définition que pour tout borélien réel B, on a que sa préimage f^-^1(B)T.
Soit xE.
je dois montrer l'égalité suivante :
\int_{E}^{}{f }d\delta _x =f(x)
Alors je ne comprends pas vraiment ce que cela signifie (il n'y a pas de parenthèses en plus dans l'énoncé). Je sais que x est la mesure de Dirac, ie \delta _x (A) = 1 \Leftrightarrow x\in A et \delta _x (A) = 0\Leftrightarrow xA


Il y a une indication qui est que il ne faut pas forcément supposer que x \in T

Je ne comprends pas du tout ce qu'il faut faire et ce que signifie  d\delta _x, si quelqu'un peut m'éclairer ?

Merci d'avance

Posté par
jsvdb
re : mesure 24-11-20 à 00:51

Bonjour maxxiiime.
Quand tu intègres une fonction f sur un espace mesuré (E,T,µ), tu las notes \int_E fd\mu pour signifier que tu utilises la masure \mu.
Ici, la mesure utilisée est celle de Dirac en x, dont tu donnes la description dans ton post.

Posté par
jsvdb
re : mesure 24-11-20 à 00:56

Pour montrer l'égalité \int f d\delta_x = f(x), tu vas commencer par voir ce qu'il se passe sur les fonctions étagées, c'est-à-dire sur les fonction mesurables qui ne prennent qu'un nombre fini de valeurs.

Soit f une telle fonction et x \in E
Il existe alors une partition de E en n boréliens et telle que f soit constante sur chacun des boréliens. Or x appartient forcément à l'un des membre de la partition donc ...

Posté par
maxxiiime
re : mesure 24-11-20 à 14:47

Je ne comprends pas du tout...

Posté par
jsvdb
re : mesure 24-11-20 à 14:54

Qu'est-ce-que tu ne comprends pas ?

Posté par
maxxiiime
re : mesure 24-11-20 à 19:54

Ce que veut dire « intégrer par rapport à une mesure ». Je sais intégrer f:xf(x) selon x, ce qu'on note f(x)dx, mais ne comprends donc pas ce que font ici les mesures....

Posté par
maxxiiime
re : mesure 24-11-20 à 19:57

Ok j'ai du cours à bosser, je reviendrai vers vous après coup

Posté par
maxxiiime
re : mesure 24-11-20 à 19:58

Avec les enseignements à distances et tout ces poly, j'avais manqué une partie.... à plus tard et merci

Posté par
maxxiiime
re : mesure 06-12-20 à 10:53

jsvdb @ 24-11-2020 à 00:56

Pour montrer l'égalité \int f d\delta_x = f(x), tu vas commencer par voir ce qu'il se passe sur les fonctions étagées, c'est-à-dire sur les fonction mesurables qui ne prennent qu'un nombre fini de valeurs.

Soit f une telle fonction et x \in E
Il existe alors une partition de E en n boréliens et telle que f soit constante sur chacun des boréliens. Or x appartient forcément à l'un des membre de la partition donc ...


C'est le premier exercice de ce type que je traite.
Je ne vois pas ce que ce que vous dites implique.
Merci d'avance

Posté par
GBZM
re : mesure 06-12-20 à 11:00

Bonjour,

Que peux-tu dire de f^{-1}(f(x)) ?

Posté par
maxxiiime
re : mesure 06-12-20 à 11:19

Décidemment, je commence à vous adorer monsieur GBZM.

f-1(f(x))E et T

Posté par
GBZM
re : mesure 06-12-20 à 11:54

Je suis sûr que tu peux dire plus. Quelle est sa mesure ?

Posté par
maxxiiime
re : mesure 06-12-20 à 12:13

elle vaut 1 si xT et est nulle sinon

Posté par
maxxiiime
re : mesure 06-12-20 à 12:14

si {x} est dans T plutot

Posté par
GBZM
re : mesure 06-12-20 à 14:06

Non. Revois ce que tu écris pour la mesure de f^{-1}(f(x)).

Posté par
maxxiiime
re : mesure 06-12-20 à 16:24

je ne comprends pas ce que vous me demandez

Posté par
GBZM
re : mesure 06-12-20 à 21:08

Tu as écrit des choses qui ne vont pas dans tes deux messages plus haut. Je te demande de corriger. La question, s'est toujours \delta_x(f^{-1}(f(x))).



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