Cherche un cours sur les mesures extérieures (théorème de Caratheodory, etc) niveau L3. Normalement la mesure de Lebesgue y est construite dans un paragraphe traitant de l'invariance par translation de cette dernière.

Sinon, remarquer que l'indicatrice du segment [a,b] est une fonction étagée

C'est la définition en fait!
La mesure de Lebesgue est construite pour que la mesure dun intervalle soit egale a sa longueur

lionel52

La définition "de base" que j'ai dans le cours est :

Par linéarité de l'intégrale, L([0,b-a]) = (b-a)L([0,1]) = b-a

Mais [a,b] = [0,b-a] + a, donc L([a,b]) = L([0,b-a]) = b-a

Niveau L1

Bonjour

Figure-toi que j'y ai pensé, j'ai même fait une preuve pour le cas où b-a est entier
Mais je ne vois pas en quoi L([0,b-a])=(b-a)L([0,1]) par linéarité, et puis linéarité de quelle intégrale ? Ce sont des mesures

Pour toute mesure et tout ensemble mesurable,



En ensuite, théorème de changement de variable dans une application linéaire (l'intégrale de Lebesgue), (b-a)x -> x, de jacobien (b-a).

C'est du cours tout ça. Si tu l'as pas encore vu tu le verras bientôt.

Pour une construction de la mesure de Lebesgue, et comprendre d'où vient l'invariance par translation, je t'invite à suivre mon premier message et à regarder un cours sur les mesures extérieures et la construction de mesures à partir de mesures extérieures

Apres, si la chose t'intéresse, tu pourras aussi, quand tu auras fini ton cours de théorie de la mesure, lire un cours sur les mesures de Haar d'un groupe topologique localement compact. Tu verras que la mesure de Lebesgue de dimension n en est une pour le groupe R^n
Mais tout ça est beaucoup trop compliqué pour l'instant, je pense

Est-il possible de formuler une démonstration de cela sans utiliser les intégrales ? Ce n'est pas que ta démonstration me déplaît, mais dans mon cours il me semble que nous avons vu une démonstration avant d'avoir vu les intégrales, alors j'essaie de la retrouver, ou du moins de l'obtenir