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Mesure de Lebesgue, domaine

Posté par
Ennydra 16-11-17 à 16:28

Bonjour,

Pour f, g deux fonctions de R dans R on note :

\mathcal{D} := \{ x \in \R : \int_{\R} |f(x-t) g(t) | d \lambda(t) < \infty \} où \lambda est la mesure de Lebesgue sur R. On note f*g la fonction \mathcal{D} \rightarrow \R définie par :

(f*g)(x) = \int_{\R} f(x-t) g(t) d\lambda(t) \forall x \in \mathcal{D}

Je bloque déjà à la première question qui est :
Montrer que \mathcal{D} = \R.
Je posterai les autres questions ensuite.

Avez-vous une indication à me donner pour commencer cet exo ? Merci d'avance

Posté par
etniopalre : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 16:53

Les  " deux fonctions de R dans R " dont tu parles ne sont pas n'importe comment .

Posté par
boninmire : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 17:11

f et g sont sans doute intégrables ...
On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz à l'intégrale\int_{\R} |f(x-t) g(t) | d \lambda(t) .

Posté par
etniopalre : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 17:25

Pour utiliser C-S,  ce serait plutôt  " de carrés intégrables "  .

En tout cas il est nécessaire qu'elles soient au moins boréliennes

f et g étant boréliennes ,   pour que  t  f(x - t)g(t)  soit intégrable pour tout x il y a quelques conditions suffisantes

Par exemple

. L'une continue à support compact l'autre intégrable
. l'une bornée l'autre intégrable  
....
.

Posté par
Ennydrare : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 18:39

Ah oui, il est précisé en effet que f est bornée et g intégrable.

Posté par
Ennydrare : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 18:45

Il faudrait que je prouve que tout x appartenant à D appartient nécessairement à R (et inversement) ?

Posté par
etniopalre : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 18:52


Que " tout x appartenant à D appartient nécessairement à R  " n'est pas dur à montrer !

Posté par
Ennydrare : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 19:02

Ouaip c'est la définition de D ! Dans ce sens c'est immédiat.

Je veux montrer que \forall x \in \mathbb{R} x \in \mathcal{D}.
Donc soit x \in \mathbb{R}. Dans ce cas, je veux prouver que \int_{\mathbb{R}} |f(x-t) g(t)| d\lambda(t) < \infty.
Avec des exemples de f bornée et g intégrable, j'y parviens, mais c'est pas très rigoureux

Posté par
etniopalre : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 19:06

Tu ne peux pas majorer t   |f(x - t)g(t)|  par une  h intégrable ?

Posté par
Ennydrare : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 19:20

On sait que f est bornée, disons par M donc |f(x)| \leq M \forall x.
Donc |f(x-t)g(t)| \leq M g(t) avec g que l'on sait intégrable...

Merci, ça me débloque sur le reste en plus...

Posté par
Ennydrare : Mesure de Lebesgue, domaine 16-11-17 à 23:22

Je poste la suite des questions :

ii) Montrer que si f est continue alors f*g est continue. (ici j'ai réussi)
iii) Montrer que si f est de classe C1 alors f*g est C1 et (f*g)' = f'*g.

Ici, je vais noter F(x) = (f*g)(x) et h(t,x) = f(x-t)g(t). Pour que F soit dérivable et connaître sa dérivée, on doit vérifier les 3 conditions suivantes :
• \forall x, t \rightarrow h(t,x) \in L^1 donc \int |h(t,x)| d\lambda(t) < \infty. C'est le cas car f bornée et g intégrable.
• \forall t, x \rightarrow h(t,x) = f(x-t)g(t) est dérivable car f dérivable et g intégrable.
• Il existe une fonction k \in L^1 telle que \forall x |\dfrac{dh}{dx} (t,x) | \leq k(t).
Là on a \dfrac{dh(t,x)}{dx} = f'(x-t)g(t) donc |h'(t,x)| = |f'(x-t)g(t)| que je n'arrive pas à majorer par une fonction k
Mais du coup on a bien (f*g)'(x) = (f'*g)(x), mon petit souci est la majoration de la valeur absolue de h'(t,x)

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Posté par
jsvdbre : Mesure de Lebesgue, domaine 17-11-17 à 00:43

Bonjour Ennydra.
Es-tu bien sûre qu'il ne manque pas une hypothèse concernant f' ? (genre f' est bornée sur \R, ou à support compact, ou autre, sans quoi tu ne pourras pas continuer)

Posté par
etniopalre : Mesure de Lebesgue, domaine 17-11-17 à 10:04

Si on veut arriver à :  (f \star g)' = f'\star  g  il est indispensable  que f ' et g soient convolables  .  


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