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Mesure et espaces L^p

Posté par
otto
29-06-07 à 22:48

Allo,
quelques questions, juste pour le plaisir de chercher :

Existe t'il une suite de fonctions continues  sur [0,1](f_n) telles que (f_n(x)) ne converge en aucun point et telle que \int_0^1 f_n(x)dx \to 0 et telles que 0\leq f_n \leq 1? Si oui en exhiber une, sinon dire pourquoi.

Existe t'il une forme linéaire bornée L sur L^{\infty}, nul sur C_0(R) (l'ensemble des fonctions nulles à l'infini) mais non identiquement nul ?
(Remarquer que si c'est le cas, celà donne une démonstration du fait que L^{\infty}^* \neq L^1)

On peut également transposer le dernier problème aux petits l^p.

Amusez vous bien.
a+

Posté par
xtasx
re : Mesure et espaces L^p 29-06-07 à 23:30

Oui il en existe :

Par exemple la suite de fonctions continues suivantes :

f1 : x -> 1 sur [0,1]


f2 : x -> 1 sur [0,1/2] et 0 sur [1/2,1]

f3 : x -> 1 sur [1/2,1] et 0 sur [0, 1/2]


f4 : x -> 1 sur [0,1/4] et 0 sur [1/4,1]

f5 : x -> 1 sur [1/4,1/2] et 0 sur [0,1/4]U[1/2,1]

f6 : x -> 1 sur [1/2,3/4] et 0 sur [0,1/2]U[3/4,1]

f7 : x -> 1 sur [3/4,1] et 0 sur [0,3/4]

Jete généralise la suite.

Posté par
xtasx
re : Mesure et espaces L^p 29-06-07 à 23:35

f2n : x -> 1 sur [0,1/2n] et 0 sur [1/2n,1]

f2n+1 : x -> 1 sur [1/2n,1/2n-1 et 0 sur [0,1/2n]U[1/2n-1,1]

...

f2n+1-1 : x -> 1 sur [1-1/2n,1] et 0 sur [0,1-1/2n]

Ces fonctions sont bien continues,

Pour tout x, (fn(x)) ne converge pas, l'intégrale tend bien vers 0, et les fonctions sont toutes à valeurs dans [0,1].

Posté par
xtasx
re : Mesure et espaces L^p 29-06-07 à 23:37

Oups désolé je raconte n'importe quoi.
Elle ne sont bien évidement pas continues mes fonctions
Il suffit de rajouter une partie intermédiaire affine, je le fais de suite !

Posté par
xtasx
re : Mesure et espaces L^p 29-06-07 à 23:43

Voici les bonnes fonctions :

f2n : x -> 1 sur [0,1/2n] et 0 sur [1/2n-1,1]
                      En étant affine sur [1/2n,1/2n-1], pour assurer la continuité.

f2n+1 : x -> 1 sur [1/2n,1/2n-1] et 0 sur [3/2n,1]
                      En étant affine sur [0,1/2n] et sur [1/2n-1,3/2n] pour assurer la continuité (et vallant 0 en 0).

Etc ...

Enfin fais un dessin, c'est plus facile à visualiser
Ma suite n'est par contre plus définie pour tout n, mais seulement à partir d'un certain rang (n > 1).

Posté par
xtasx
re : Mesure et espaces L^p 29-06-07 à 23:50

Pour faciliter la viusalisation, voici les premiers termes de ma suite :


f4 : x -> 1 sur [0,1/4] et 0 sur [1/2,1] En étant affine sur [1/4,1/2].

f5 : x -> 1 sur [1/4,1/2] et 0 sur [3/4,1] En étant affine sur [0,1/4] et sur [1/2,3/4] avec f5(0)=0.

f6 : x -> 1 sur [1/2,3/4] et 0 sur [0,1/4] En étant affine sur [1/4,1/2] et sur [3/4,1] avec f6(0)=0.

f7 : x -> 1 sur [3/4,1] et 0 sur [0,1/2] En étant affine sur [1/2,3/4].



f8 : f4 : x -> 1 sur [0,1/8] et 0 sur [1/4,1] En étant affine sur [1/8,1/4].

Etc ...

Posté par
otto
re : Mesure et espaces L^p 30-06-07 à 15:00

Oui ca a du sens.
Mais si tu avais convolué ta première suite de fonctions avec elle même, ça t'aurait donné une suite de fonctions qui vérifiait les hypothèses je pense.
La solution que j'avais en tête est proche de la tienne. En fait c'est une modification de la suite de fonctions classique qui converge vers 0 en mesure sans converger simplement en aucun point.



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