Allo,
quelques questions, juste pour le plaisir de chercher :
Existe t'il une suite de fonctions continues sur [0,1](f_n) telles que (f_n(x)) ne converge en aucun point et telle que et telles que
? Si oui en exhiber une, sinon dire pourquoi.
Existe t'il une forme linéaire bornée L sur , nul sur C_0(R) (l'ensemble des fonctions nulles à l'infini) mais non identiquement nul ?
(Remarquer que si c'est le cas, celà donne une démonstration du fait que )
On peut également transposer le dernier problème aux petits l^p.
Amusez vous bien.
a+
Oui il en existe :
Par exemple la suite de fonctions continues suivantes :
f1 : x -> 1 sur [0,1]
f2 : x -> 1 sur [0,1/2] et 0 sur [1/2,1]
f3 : x -> 1 sur [1/2,1] et 0 sur [0, 1/2]
f4 : x -> 1 sur [0,1/4] et 0 sur [1/4,1]
f5 : x -> 1 sur [1/4,1/2] et 0 sur [0,1/4]U[1/2,1]
f6 : x -> 1 sur [1/2,3/4] et 0 sur [0,1/2]U[3/4,1]
f7 : x -> 1 sur [3/4,1] et 0 sur [0,3/4]
Jete généralise la suite.
f2n : x -> 1 sur [0,1/2n] et 0 sur [1/2n,1]
f2n+1 : x -> 1 sur [1/2n,1/2n-1 et 0 sur [0,1/2n]U[1/2n-1,1]
...
f2n+1-1 : x -> 1 sur [1-1/2n,1] et 0 sur [0,1-1/2n]
Ces fonctions sont bien continues,
Pour tout x, (fn(x)) ne converge pas, l'intégrale tend bien vers 0, et les fonctions sont toutes à valeurs dans [0,1].
Oups désolé je raconte n'importe quoi.
Elle ne sont bien évidement pas continues mes fonctions
Il suffit de rajouter une partie intermédiaire affine, je le fais de suite !
Voici les bonnes fonctions :
f2n : x -> 1 sur [0,1/2n] et 0 sur [1/2n-1,1]
En étant affine sur [1/2n,1/2n-1], pour assurer la continuité.
f2n+1 : x -> 1 sur [1/2n,1/2n-1] et 0 sur [3/2n,1]
En étant affine sur [0,1/2n] et sur [1/2n-1,3/2n] pour assurer la continuité (et vallant 0 en 0).
Etc ...
Enfin fais un dessin, c'est plus facile à visualiser
Ma suite n'est par contre plus définie pour tout n, mais seulement à partir d'un certain rang (n > 1).
Pour faciliter la viusalisation, voici les premiers termes de ma suite :
f4 : x -> 1 sur [0,1/4] et 0 sur [1/2,1] En étant affine sur [1/4,1/2].
f5 : x -> 1 sur [1/4,1/2] et 0 sur [3/4,1] En étant affine sur [0,1/4] et sur [1/2,3/4] avec f5(0)=0.
f6 : x -> 1 sur [1/2,3/4] et 0 sur [0,1/4] En étant affine sur [1/4,1/2] et sur [3/4,1] avec f6(0)=0.
f7 : x -> 1 sur [3/4,1] et 0 sur [0,1/2] En étant affine sur [1/2,3/4].
f8 : f4 : x -> 1 sur [0,1/8] et 0 sur [1/4,1] En étant affine sur [1/8,1/4].
Etc ...
Oui ca a du sens.
Mais si tu avais convolué ta première suite de fonctions avec elle même, ça t'aurait donné une suite de fonctions qui vérifiait les hypothèses je pense.
La solution que j'avais en tête est proche de la tienne. En fait c'est une modification de la suite de fonctions classique qui converge vers 0 en mesure sans converger simplement en aucun point.
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