Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Mesure sigma finie

Posté par
H_aldnoer 17-12-08 à 16:29

Bonjour,


Soient \Large \mu_1 , \mu_2 deux mesures, \Large\sigma-finie, sur \Large (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)).

\Large\forall A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n), on pose \Large \tild A := \{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2n},\, x+y\in A\}.

On pose ensuite \Large \mu_1\ast\mu_2 (A) := \mu_1 \otimes \mu_2 (\tild A), où \Large \mu_1 \otimes \mu_2 est la mesure produit.

Justifier que cette définition est licite.
Blocage total!
Je ne vois pas comment faire!

Je dois vérifier la sigma additivité, mais si je prends une union dénombrable d'ensembles deux à deux disjoints, \Large \Bigcup_{k=1}^{+\infty} A_k, qu'est-ce que \Large \tild\Bigcup_{k=1}^{+\infty} A_k ?!

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 17:37

Bonjour,
Pour vérifier que c'est une tribu pas besoin de se taper les axiomes.
(x,y)->x+y est continue de R^{2n} dans R^n en particulier elle est mesurable et donc l'image réciproque d'un ensemble mesurable est mesurable.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 17:48

Vérifier que c'est une mesure, pas une tribu!

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 17:50

Ben c'est du cour \mu_1 \otimes \mu_2 est définie sur la tribu produit. Cela résulte du théorème de caratheodory par exemple.

Ici la seule chose a verifier c'est que on peut bien prendre la mesure d'un élément de A tilde, c'est à dire que ces elements sont mesurable.

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 17:56

salut


comme j'arrive pas à faire le tilde je note B cet ensemble

pour y fixé considère Ay={xRn / x+yA}
idem pour Ax
et écrit ton B comme union de produit d'ensemble mesurable par i et utilise alors la définition de la mesure produit

tes Ax/y sont des translatés de A donc ssont mesurables...

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 17:58

Ok!


Peut-être que tu vas pouvoir m'éclairer pour la suite alors!
Vérifiez que \Large\mu_1(A):=\Bigint_{A} f(x)dx et \Large\mu_2(A):=\Bigint_{A} g(x)dx (où f,g sont deux fonctions \Large (\Omega,\mathcal{T})-([0,+\infty],\mathcal{B}) mesurables) sont biens des mesures sigma-finies.

Alors j'arrive à montrer que ce sont des mesures, mais pour sigma-finie, je ne vois pas!

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:01

J'ai pas compris...
Omega est quelconque? Mais on lui enlève [0,infini]?

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:06

Non!

Une application est dite \Large (\Omega_1,\mathcal{T}_1)-(\Omega_2,\mathcal{T}_2) ssi c'est une application de \Large \Omega_1 dans \Omega_2 tel que l'image réciproque de la tribu \Large \mathcal{T}_2 soit contenue dans la tribu \Large \mathcal{T}_1.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:07

Ici, on suppose travailler dans un espace mesuré \Large (\Omega,\mathcal{T},\mu), et on note \Large\mathcal{B} la tribu borélienne.

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:11

Ok donc ton f c'est une application mesurable de omega dans R? Quelconque?
Alors c'est trivialement faux que µ1 est sigma-finie.
Prend la fonction constante egale a plus l'infini. La mesure de tout ensemble non negligeable est infinie.

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:13

utilise la définition de "f est mesurable", donc  "f est intégrable" et la définition de "-finie" (suite croissante de boréliens dont l'union est A)

en gros tu crée une densité "pas trop épaisse" pour pouvoir effectivement mesurer A et que tes restent -finies

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:20

> Rodrigo

Citation :
où f,g sont deux fonctions \Large (\Omega,\mathcal{T})-([0,+\infty],\mathcal{B}) mesurables


Donc f est à valeur dans \Large [0,+\infty] !!

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:20

> carpediem, si tu peux m'écrire formellement les choses, parce que je vois pas ...

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:25

avec une mesure -finie le poids de peut être mais pas celui de tout sous-ensemble strict
dx est -finie donc f(x)dx le reste
à prouver rigoureusement donc =fdx est -finie

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:28

J'ai pas compris.
Tu peux écrire les choses de manière plus rigoureuses...

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:28

Oui f est a valeur dans [0,+oo] donc la fonction constante f=+oo est bien une telle fonction...
Et la mesure a densité f pour f=+oo, n'est pas sigma finie...

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:30

Qu'entends-tu par "mesure à densité f pour f=+oo" ?

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:32

Ben \mu(A)=\int_A fdx

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:33

il est évident que si f= tu peux fermer ton cahier...
mais bon par déf de f est mesurable alors par définition [/sub]fdx est la borne sup (finie ou infinie) de [sub]dx où est étagée
donc ensuite tu l'applique non pas à mais à A (en multipliant par son indicatrice si tu veux) puis tu appliques la def de -finie à A

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:33

Donc si \Large f=+\infty, \Large\mu(A)=+\infty et \Large\mu n'est donc pas sigma-finie ?

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:35

désolé

par définition fdx est la borne sup (finie ou infinie) de dx où est étagée
donc ensuite tu l'applique non pas à mais à A (en multipliant par son indicatrice si tu veux) puis tu appliques la def de -finie à A

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:35

Desolé mais f=+oo est mesurable, pour la tribu borelienne sur [0,+oo] car vu que f est constante elle est continue pour n'importe quelle topologie.

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:37

ca cas pathologique est sans intéret
la mesure de Lebesgue est -finie donc fdx le reste si f n'est pas trop pathologique

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:38

Oui donc il faut préciser les hypothèses. Si tu prends f quelconque mesurable de oemga dans [0,+oo], le résultat est faux point.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:38

Bon admettons que l'on ait pas un cas pathologique comme dit carpediem, comment je prouve la chose suivante :


\Large \mu_1\ast\mu_2(A)=\Bigint_A f\ast g(x) dx où le deuxième \Large \ast est une vraie convolution!

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:39

oui f= est mesurable la théorie de la mesure intégre ce cas mais évidemment ce qui nous intéresse est un cas non pathologique en vérifiant la def de "-finie" à A et qui élimine ce cas

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:41

utilise la def de la convolution f*g(x)=f(x-t)g(t)
tu fait donc une translation de A pour f

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:42

J'ai ceci :

\Large \mu_1\ast\mu_2(A)=\mu_1\otimes\mu_2(\tilde A)=\Bigint_{\tild A}d[\mu_1\otimes\mu_2](x,y)

Après je vois pas!

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:43

Non mais je comprends pas ou est le souci...
Il a un truc a prouver qui est faux... Apres oui si l'on prend f par exemple localement intégrable, alors oui ca marche.

Pour l'autre question c'est une sommation en tranche, pour chaque y "decoupe A suivant l'axe des x". Le théorème de Fubini est ton ami.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:44

Bon disons que f est localement intégrable Rodrigo, l'énoncé est tel qu'il est! Je vais voir avec mon prof, c'est lui qui la rédiger!

Citation :
Pour l'autre question c'est une sommation en tranche, pour chaque y "decoupe A suivant l'axe des x". Le théorème de Fubini est ton ami.



??

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:47

u1*u2(A) doit être guère diférent de u1*u2(Atilda) 'et les Huns

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:48

Oui,
1_{\tilde{A}}(x,y)=1_A(x)1_A(y-x) si je ne m'abuse.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:48

Stp carpediem, c'est important.

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:50

Et comment on montre que \Large\mathbb{1}_{\tild A}(x,y)=\mathbb{1}_A(x)\mathbb{1}_A(x-y) ?

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:51

J'ai ecrit n'importe quoi.. C'est 1_A(x+y)

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 18:51

eh oui avec la déf de la convolution tu reviens à une intégrale double donc Fubini

la 2e égalité n'est que la def finition d'écriture de A~ est u1*u2 mesurable et sa mesure

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:53

Comment tu le prouves Rodrigo?

(carpediem stp, je comprend rien à ce que tu me dis)

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:54

Ben c'est la définition...

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:56

Si \Large (x,y)\in\tild A alors \Large\mathbb{1}_{\tild%20A}(x,y)=1. De plus par définition de cet ensemble, \Large x+y\in A. Donc \Large\mathbb{1}_A(x)\mathbb{1}_A(x+y)=\mathbb{1}_A(x).

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:56

Ahhhh

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:57

Oui, c'est \Large \mathbb{1}_{\tild A}(x,y)=\mathbb{1}_A(x+y) !

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 18:59

Donc :

\Large \mu_1\ast\mu_2(A)=\mu_1\otimes\mu_2(\tilde A)=\Bigint_{\mathbb{R}^n}\mathbb{1}_{\tild A}(x,y)d[\mu_1\otimes\mu_2](x,y)=\Bigint_{\mathbb{R}^n}\mathbb{1}_{A}(x+y)d[\mu_1\otimes\mu_2](x,y).

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 19:01

Je ne vois pas d'ou pourrait venir la convolée

Posté par
Rodrigore : Mesure sigma finie 17-12-08 à 19:03

Ben maintenant tu utilise fubini et tu fais un chgt de variable.

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 19:03

pour simplifier grossomodo A~= Ay x Ax
donc tu intégres sur un produit d'ensembles chacun étant mesurables par tes i

pour y fixé Ay=A-y donc tu vois apparaitre la convolution de tes fonctions f et g

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 19:12

Donc c'est égale à :

\Large \Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^{2n}}\mathbb{1}_A(x+y)d\mu_1(x)d\mu_2(y)

Puis j'intègre par exemple selon x avant, et selon y après :

\Large \Bigint_{\mathbb{R}^{n}}\mathbb{1}_A(x+y)(\Bigint_{\mathbb{R}^{n}}d\mu_2(y))d\mu_1(x)

Je fais le changement de variable \Large u=x+y :

\Large \Bigint_{\mathbb{R}^{n}}\mathbb{1}_A(u)(\Bigint_{\mathbb{R}^{n}}d\mu_2(y))d\mu_1(u-y)


Et la je suis perdu!

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 19:16

d2(y)=g(y)dy et d1(u-y)=f(u-y)d(u-y)=f(u-y)dy
et l'indicatrice fait que tu intègres sur A

Posté par
carpediemmesure sigma finie 17-12-08 à 19:16

pardon c'est du à la fin

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 19:22

Bien vu carpediem!

Posté par
H_aldnoerre : Mesure sigma finie 17-12-08 à 19:40

Comment appliquer ça pour montrer que \Large\mu\ast\delta_{x_0}(A)=\mu(A-x_0), où \Large\delta_{x_0} est la mesure de Dirac au point \Large x_0 ?

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !