Bonjour je dois montrer que :

Soit (E,T,u) un espace mesuré.
si u est une mesure sigma finie alors il existe une suite An appartement a T, pour tout n entier naturel, telle que An est inclu dans An+1, u(An) < et l'union des An pour n entier naturel est égale a E.

Mon raisonnement :
Soit un une mesure sigma finie, alors il existe une suite Bn (pour n entier naturel) appartenant à T, telle que u(Bn)< et l'union des Bn pour n entier naturel est égale a E.

Je pose An égale à l'union des Bk pour k allant de 0 à n.

Comme T est une tribu alors An appartient à T (stabilité par union dénombrable).

An+1 est en fait l'union de An et Bk+1 donc An est clairement incluse dans An+1.

u(An) est égale à u(union des Bk pour k allant de 0 à n).
Par sigma sous additivité (car on ne peut pas utiliser la propriété de la sigma additivité car on ne sait pas si l'union est disjoint 2 à 2) :
u(union des Bk pour k allant de 0 à n) u(Bk) pour  k de 0 a n
Or on sait que u(Bn)< pour tout n entier naturel  donc c'est encore vrai pour la somme de k=0 à n

Donc u(An)<

Il me reste à montrer que l'union des An pour n entier naturel est égale a E l'ensemble tout entier mais je bloque ici.

Si An = Union des Bk pour k=0 à n,
L'union des An pour n entier naturel c'est quoi exactement ?
L'union sur n de l'union des Bk de =0 à n ? je n'arrive pas trop a voir cela et ca me bloque alors que je suis pret du but


Merci !!