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Méthode de Cardan (3e degré)

Posté par
Pioupioooou10
19-07-19 à 23:32

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour faire une DM sur la méthode de résolution des polynômes de troisième de degré de Cardan voici l'énoncé :

Soit P un polynôme du troisième degré de la forme P(x) = ax³+bx²+cx+d (a ≠ 0)

1. On pose z = x+b/(3a)
Montrer que P(x) = 0 équivaut à z³+pz+q = 0
On exprimera p et q en fonction de a, b, c et d et on notera Q(z) = z³+pz+q

2. On cherche z sous la forme z = u+v
Montrer qu'alors Q(z) = u³+v³+q+(u+v)∅(u, v)
On précisera ∅(u, v)

3. On cherche alors à résoudre le système :
    u³+v³+q=0
Et
    ∅(u, v)=0
Montrer que u³ et v³ sont les racines d'un polynôme R(X) du second degré dont on exprimera les coefficients en fonction de p et de q (Résolvante de Cardan)

4. On note Δ(R) le discriminant de la résolvante de Cardan.
Exprimer Δ(R) en fonction de p et de q. Dans la suite du problème, on supposera que Δ(R) = 0
Donner la racine double de la résolvante et en déduire une racine réelle de Q en fonction de p et de q.

5. Factoriser Q (par identification polynomiale ou division euclidienne) et résoudre Q = 0 dans le cas où Δ(R) = 0.

6. Donner les racines de P dans le cas où Δ(R) = 0.

Application : Résoudre 9x³-75x²-53x-9 = 0
  
Voilà ce que j'ai réussi à trouver :

1. p = (b²+ac)/a² et q = d/(a)+cb/(3a²)+b³/(27a³)

2. ∅(u, v) = 3uv+p

3. R(X) = X²+qX-p³/27

4. Δ(R) = q²+4p³/27
X(0) = -q/2

Et a partir de la je bloque... Du coup déjà j'aimerai savoir si ce que j'ai trouvé est correct et aussi comment on fait pour continuer !
Merci d'avance !!

Posté par
Jezebeth
re : Méthode de Cardan (3e degré) 20-07-19 à 02:54

Bonjour

Je ne trouve pas du tout pareil pour 1.

Donner les réponses que vous avez trouvées, ce n'est pas uniquement donner le résultat. En maths, ce qui nous importe, c'est surtout la manière de l'obtenir ! Alors indiquez comment vous vous y prenez et détaillez vos calculs (cela vous permettra de les vérifier en même temps, et donc de n'écrire que des choses dont vous êtes a priori sûr).

Posté par
Pioupioooou10
re : Méthode de Cardan (3e degré) 21-07-19 à 06:12

Oui en effet je crois que je suis allé un peu vite là première fois ^^' la j' ai trouvé d'autres résultats
Donc voilà ce que j'ai fait :
J' ai substitué x par z-b/3a dans P(x) ça donne :
P(x) = a(z-b/3a)³+b(z-b/3a)²+c(z-b/3a)+d

=a[z³-3z²b/(3a) +3zb²/(9a²) -b³/(27a³)]+b[z²-2zb/(3a) +b²/(9a²)]+c(z-b/(3a))+d

=az³-z²b+zb²/(3a) -b³/(27a²) +bz²-2zb²/(3a) +b³/(9a²) +cz -cb/(3a) +d

=az³-zb²/(3a)+ cz+ 2b³/(27a²) -cb/(3a) +d

= az³ +[c-b²/(3a)]z + 2b³/(27a²) -cb/(3a) +d

Donc P(x) = 0 <=> az³ +[c-b²/(3a)]z + 2b³/(27a²) -cb/(3a) +d = 0 (a≠0)

<=> z³+ [c/(a) - b²/(3a²)]z + d/a- cb/(3a²)+ 2b³/(27a³) = 0

Donc
p= (3ac- b²)/(3a²)
et q= d/a- cb/(3a²)+ 2b³/(27a³)

Il est possible qu'il reste quelques erreurs...

Posté par
Priam
re : Méthode de Cardan (3e degré) 21-07-19 à 10:56

Maintenant c'est juste.

Posté par
Jezebeth
re : Méthode de Cardan (3e degré) 21-07-19 à 17:13

Ok pour la 1.

La 2. est correcte aussi. Pouvez-vous détailler 3. ?

Posté par
Pioupioooou10
re : Méthode de Cardan (3e degré) 22-07-19 à 03:51

Ok super!
Alors pour la question 3 je suis pas sur du tout :

On connaît les deux racines de R(X) qui sont u³ et v³ on peut donc factoriser par ces deux solutions ce qui donne :
R(X) = (X-u³) (X-v³) = X²-Xv³-Xu³+u³v³ = X²-(u³+v³)X+u³v³
Or d'après le système :
    u³+v³+q=0
Et  
    3uv+p=0
<=>
    u³+v³=-q
Et
    uv=-p/3
<=>
    u³+v³=-q
Et
    u³v³=-p³/27

Donc : R(X) =X²+qX-p³/27



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