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Niveau Reprise d'études
Méthode de Newton
Posté par manu_du_40
Bonjour, j'ai une petite question à propos de la méthode de Newton :
a priori, elle nécessite d'avoir une fonction vérifiant
,
,
et
.
Ca fait beaucoup d'hypothèses.
Pourtant, lorsque j'essaie de l'appliquer à la fonction que je définis ]pi/2 ; 3pi/2[ sur pour essayer de trouver une approximation de pi, ça a l'air de fonctionner du moment que je prends comme nombre de départ un réel pas trop éloigné de pi.
Bien entendu, sin n'est ni croissante ni convexe sur ]pi/2 ; 3pi/2[.
Ma question est donc : est-il possible d'affaiblir un peu les hypothèses pour que la méthode fonctionne dans un cadre plus général ?
Manu
salut
en général dans ce genre de théorème on donne des conditions qui assurent que dans tous les cas ça marche (ça converge vers la racine) donc des conditions fortes ...
mais comme toujours dans certains cas particuliers des conditions moins fortes permettent que ça marche quand même ...
par exemple simplement que f" soit bornée peut suffire ...
ensuite ne pas oublier que cette méthode dépend aussi du point initial ...
Salut carpediem et merci pour votre réponse,
en fait, je suis en train de préparer la leçon d'agreg "Méthodes d'approximation du nombre π. Aspects algorithmiques."
Du coup, j'ai pensé à la méthode de Newton mais il me faudrait soit une fonction croissante convexe qui s'annule en pi, soit que je sois capable de justifier rigoureusement pourquoi ça marche avec sin en prenant par exemple. Et à part en faisant un dessin, je ne vois pas trop comment m'y prendre.
il existe des méthodes géométriques d'approximation de pi ou pi/2 ou pi/4 peut-être plus pertinente ... (si on connait pi/4 on connait pi évidemment)
peut-être alors utiliser plutôt la fonction tan puisque tan (pi/4) = 1
voir ces deux sites qui pourront peut-être t'aider :
...
Merci pour l'idée de la fonction tan, c'est parfait.
Pour les autres méthodes, j'ai pensé à Monte-Carlo, méthode de Babylone et formule de Machin. Mais Newton est un bon investissement car on peut le recaser dans beaucoup de leçon, c'est pour ça que je voulais la mettre 
oui la méthode Monte-Carlo est une bonne idée pour faire un lien avec les proba
et facile à visualiser avec geogebra par exemple ...
Et on peut comparer la vitesse de convergence entre la méthode de Newton appliquée à la fonction tangente et la méthode de Monte-Carlo.
salut verdurin 
je vois seulement maintenant que j'ai posté la même chose que toi !!
au moment de rédiger il n'y a avait pas (encore) ta réponse