3) Soit le rang de . Comme est de rang 1, on a 1. Soit une base de telle que la matrice soit diagonale avec une unique valeur propre non nulle . Soit la forme linéaire définie par . Alors pour tout , on a , donc .

4) Soit une forme bilinéaire symétrique de rang 1. D'après la question 3, il existe une forme linéaire telle que . On a alors

pour tout . Si est non nulle, alors est non nulle et donc est non nul pour tout . Cela implique que est définie positive ou définie négative, donc est plate.

5) On sait que est de rang car elle est plate. Supposons que est de rang 1. Alors, d'après la question 3), il existe une forme linéaire telle que . Comme est plate, on a pour tout . Donc pour tout , ce qui implique que . Ainsi, , ce qui contredit l'hypothèse que est non nulle. On en déduit que est de rang 2.

Pour montrer que est de rang 2, il suffit de montrer que la matrice est inversible. On peut supposer sans perte de généralité que est non dégénérée, c'est-à-dire que pour tout vecteur , il existe un vecteur tel que . Sinon, on peut restreindre l'espace de départ de à un sous-espace de codimension 1 où est non dégénérée.

Soit la matrice où est la base canonique de . Comme est plate, la matrice est symétrique et vérifie car est non dégénérée. On en déduit que est diagonalisable et que ses valeurs propres sont 0 et . Ainsi, la matrice est semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont soit 0 soit 1. On en déduit que la matrice est semblable à la matrice diagonale , donc elle est inversible, ce qui prouve que est de rang 2.

Finalement, on a montré que si est une forme bilinéaire symétrique plate non nulle, alors est de rang 2.

Bonjour,
Je me suis arrêté à la fin de la première question. La démonstration du fait que est diagonalisable ne va pas du tout.

Déduire que l'application est diagonalisable :

On a montré que est symétrique.

Soit les valeurs propres de avec. On a alors pour tout . Soit tel que . On a alors , donc est la norme opérateur de sur l'espace des vecteurs unitaires de .

On montre maintenant que est non nul. Si , alors pour tout vecteur , on a , donc est nulle. Mais on a supposé que était non nulle, donc est non nul.

Soit maintenant un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre . On peut compléter en une base orthonormale de . Soit la matrice de passage de la base canonique à la base . Alors la matrice de dans la base est diagonale avec sur la diagonale, donc la matrice de dans la base canonique est . Ainsi, est une combinaison linéaire de formes bilinéaires de la forme avec ou , ce qui prouve la première partie de la question : est donc diagonalisable.

Ça ne va pas mieux.
Ce que tu écris ressemble à une réponse de ChatGPT (ce n'est pas un compliment). Par exemple il n'y a aucune raison pour que les valeurs propres soient positives, et donc ton affirmation que est la norme d'opérateur est erronnée. Il y a ensuite beauxcoup de choses à redire.
Ne connais-tu aucun résultat sur les matrices symétriques réelles en relation avec la diagonalisabilité ?

Bien sûr, une matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Il me semble que ça marche en utilisant le théorème spectacl..

Oups plutôt Spectral.

Le théorème spectral stipule que toute matrice symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale.

Donc si on arrive à montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que , D matrice diagonale, on aura bien prouvé que phi est diagonalisable.

est un produit scalaire sur , il est trivial que l'application ainsi définie est un endomorphisme sur .

est symétrique et est orthogonalement diagonalisable, il existe donc avec une base orthonormée de formée de vecteurs propres de .

Posons pour , alors est diagonalisable.

C'est quoi ?? C'est quoi ??

est la base orthonormée et est là matrice où part de 1 à n.

Ta notation ("beta de e indice i" n'a pas de sens.
Tu peux écrire "une base orthonormée ". Ça a du sens. Une base est une famille de vecteurs.
Pour ce qui est de ,  ta réponse ne colle pas le dernier paragraphe de ton avant-dernier message. Si tu avais écrit (delta de Kronecker), là ça aurait été compréhensible.

Écris moins, mais écris mieux. N'affirme que des choses dont tu es sûr et que tu comprends parfaitement

Vous avez parfaitement raison.