Niveau Licence Maths 1e ann

Minimum

Posté par
Theo92 24-04-17 à 21:37

Bonjour

Je vous livre la question.
Soit   $n \in\mathbb{N^*}$   et le problème   $inf_{(x,y) \in \mathbb{R}^2 }f_n(x,y)$   avec   $f_n(x,y)= n(x+y-2)^2 +x^2 -\frac{1}{2}y^2$ .

Il faut montrer que ce problème possède une solution, et que quand   $n \longrightarrow +\infty$ ,  toute solution converge vers
   $inf_{(x,y) \in C }  x^2 - \frac{1}{2}y^2$   avec   $C= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 } \lvert x+y=2 \}$ .

Je développe   $f_n$ .
J'obtiens   $f_n = n \lVert (x,y) \rVert^2 + 2n(xy-2x-2y+2)+x^2- \frac{1}{2}y^2$
A partir de l'inégalité de Young :   $- \frac{1}{2}(x^2+y^2) \leq xy \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2)$ ,  j'obtiens en remplaçant xy

$f_n \geq n \lVert (x,y) \rVert^2 + 2n(- \frac{1}{2}(x^2+y^2)-2x-2y+2)+x^2- \frac{1}{2}y^2$
$f_n \geq x^2- \frac{1}{2}y^2 -2n(x+y-2)$

Pour montrer que ce problème a une solution, je suppose qu'il faut montrer que f_n est coercive? Ce que je ne parviens pas à faire.
Si   $(x,y) \in C$ ,  la fonction devient indépendante de n, mais je ne parviens pas à montrer la convergence vers une telle solution quand   $n \longrightarrow +\infty$ .

Je vous remercie pour toute l'aide que vous voudrez bien m'apporter.

Posté par re : Minimum 24-04-17 à 23:41

Bonjour Theo92.

Je pense qu'écrire ceci sera mieux :

Sachant que $2xy \geq -x^2-y^2$

$\begin {aligned} f_n (x,y) &= (n+1)x^2 + \left(n-\frac{1}{2}\right)y^2+2xy + (1-4x)+(1-4y)+2 \\&\geq (n+1)x^2 + \left(n-\frac{1}{2}\right)y^2+2xy -4x^2-4y^2+2\\ &\geq (n-5)x^2 + (n-6)y^2+2\end {aligned}$ et là, la coercivité de f saute aux yeux quand n grandit.

Posté par re : Minimum 25-04-17 à 00:23

Bonsoir jsvdb, et merci beaucoup pour votre disponibilité.

Je ne saisis pas les intermédiaires de votre calcul. Je développe ce que je trouve. Auriez-vous la gentillesse de me corriger ou de m'indiquer la bonne direction.

$f_n=n[(x+y)^2 -4(x+y) + 4] + x^2 - \frac{1}{2}y^2$
       $=n(x^2+2xy+y^2-4x-4y+4) + x^2 - \frac{1}{2}y^2$
       $= (n+1)x^2 + (n-\frac{1}{2})y^2 +2xy -4n(x+y-1)$
       $\geq (n+1)x^2 + (n-\frac{1}{2})y^2 -x^2 -y^2 - 4n(x+y-1)$
       $\geq nx^2 + (n-\frac{3}{2})y^2 - 4n(x+y-1)$

J'ai essayé dans mon premier post de me rapprocher d'une formulation pour répondre à la seconde question, ce qui allait bien, puisque si   $x+y=2$   alors la minoration que j'ai trouvé ne dépends plus de n.

Merci à nouveau pour votre aide.

Posté par re : Minimum 25-04-17 à 00:24

Ensuite, tu regardes ce que vaut le minimum sur l'ensemble $D_k = \{x+y = k\}, k \in \R$

Tu écris, sous la contrainte $D_k$ : $f_n(x,y) = n(k-2)^2+x^2-\frac{1}{2}(k-x)^2$

tu obtiens donc un polynôme en $\frac{1}{2}x^2$ qui admet un minimum. J'ai trouvé que, sous cette contrainte, le minimum était atteint en $(-k,2k)$ ... tu vérifies.

Tu calcules ce minimum et tu fais varier k à n fixé. Tu obtiens un nouveau polynôme du second degré en k dont tu vas regarder le minimum : ce sera le minimum des minima, toute contrainte confondue.

Je trouve que, à n fixé, le minimum de $f_n$ est obtenu pour $k_n = \dfrac{2n}{n-1}$ ... idem, à vérifier ...

Tu conclus en vérifiant que la suite $(x_n,y_n)=(-k_n,2k_n)$ qui minimise $f_n$ , pour n tendant vers l'infini, se rapproche de la contrainte $D_2$ , ce que l'on voulait.

C'est un résultat attendu puisque, lorsque n grandit, la partie $n(x+y-2)^2$ explose de plus en plus fort dès qu'on s'éloigne un tantinet de la contrainte $D_2$

Posté par re : Minimum 25-04-17 à 00:34

Merci beaucoup. J'ai bien saisi le schéma de convergence, et les étapes pour la démontrer. Suis passé à côté avec mon calcul, d'autant plus que la partie $2n(x+y-2)$ était affublée d'un signe négatif......

En revanche, je ne saisis pas les étapes de votre calcul pour la coercitivité.

Je me remets à la seconde question.

Merci infiniment.

Posté par re : Minimum 25-04-17 à 01:03

bon, je suis passé complètement à coté de la plaque. Tu écris $f_n(x,y)$ comme un polynôme en y :

$f_n(x,y) = (n-1/2)y^2+2n(x-2)y + n(x-2)^2+x^2$

Tu dérives en y, tu trouves le minimum à x fixé et tu le calcules. Tu obtiens alors un polynôme du second degré en x avec coefficient > 0.

Tu conclus.

Posté par re : Minimum 25-04-17 à 10:47

Sinon, un truc qui me vient à l'esprit : comme $f_n$ est de classe $C^2$ , calcule la Hessienne en tout point de $\R^2$ et vérifie si, par hasard, elle ne serait pas positive en tout point. Vu la tronche de la fonction, au feeling, je dirai non, mais pourquoi ne pas essayer, ça fait un bon exercice.

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