minoration

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minoration
Posté par 
ojano  03-04-10 à 17:45
Bonsoir,

Je cherche à minorer par une quantité positive indepedante de  mais pouvant dependre des , la fonction g definie par:

 ou , la moyenne arithmetique des  qui sont tous positifs.

Merci de m'aider.
 Posté par 
Pierre_Dre : minoration  03-04-10 à 18:28
Bonjour Ojano,

A première vue, il y a un problème si  peut vraiment être égal à  ...
 Posté par 
ojanominoration  03-04-10 à 18:39
Bonsoir Pierre_D

Effectivement,et autant pour moi, c'etait une erreur. Voila la bonne version

Je cherche à minorer par une quantité positive indepedante de  mais pouvant dependre des , la fonction g definie par:

ou ,  la moyenne arithmetique des  qui sont tous positifs.

Merci de m'aider.
 Posté par 
Pierre_Dre : minoration  03-04-10 à 19:11
J'arrive, si je ne me suis pas trompé, à  , où   .

Est-ce le genre de chose que tu cherches ?
 Posté par 
ojanore : minoration  03-04-10 à 19:18
oui mais,le signe du minorant que vous trouvez depend de , or j'ai besoin d'un minorant positif. 

Merci encore pour votre soutien
 Posté par 
Pierre_Dre : minoration  03-04-10 à 19:43
Je ne pense pas qu'on puisse trouver un minorant positif, Ojano !
 Posté par 
ojanominoration  03-04-10 à 19:50
Merci pour votre soutien. Je sais pourtant que la fonction g est positive, j'ai essayé de passer par une etude de la  fonction, mais là aussi le signe de la derivée me bloque.

Merci d'avoir essayer.
 Posté par 
kybjmre : minoration  03-04-10 à 22:03
On se donne donc un entier n  2 , on pose U = { x  n | j   xj > 0 } et m(x) = Min{x1,....,xn}. 

Soit x  U . Pour  t  [0 , m(x)[ on pose f(x,t) = [(x1+....+xn)/n - t ]/j(xj - t) et on a : nf(x,t) = f1(x,t) +....+ fn(x,t) si on pose , pour 1  k  n , fk(x,t) = (xk - t)/j(xj - t)

Les fk(x,.) sont croissantes et donc f(x,.) aussi donc Inf(f(x,.)) = f(x,0) = (x1+....+xn)/njxj 

Si g(x,.) = ln o f(x,.) on a donc Inf(g(x,.)) = ln(f(x,0)).

Remarque: Si xj = 2 pour tout j , f(x,0) =  1/2n-1 qui n'est pas  1 

Sauf erreur que tu voudras bien me signaler 
 Posté par 
Pierre_Dre : minoration  03-04-10 à 22:29
"Je sais pourtant que la fonction g est positive"

J'ai l'impression qu'il faut te convaincre par un exemple, Ojano : prends donc   et   .Alors :

 Posté par 
ojanore : minoration  05-04-10 à 17:24
Bonjour Pierre_D

j'oubliais de vous préciser que les  sont des observations de variables aléatoires iid;

Pour cela, on ne peut pas avoir égalité de tous les 

Je dit que g est positive et je raisonne de la façon suivante.

Je pose 

ou  et  designent respectivement la moyenne arithmetique et  geometrique des .

or . Donc 
 Posté par 
Pierre_Dre : minoration  05-04-10 à 17:37
1) Rien n'empêche des observations indépendantes d'une même variable aléatoire d'être égales.

2) Et où as-tu vu que  était la moyenne géométrique des  ???
 Posté par 
ojanore : minoration  05-04-10 à 17:53
Bonsoir kybjm,

Votre idée me semble bonne, neanmoins j'ai constaté quelques petites erreurs:

 si on pose , pour 

grand merci.
  Posté par 
ojanore : minoration  05-04-10 à 18:20
Toutes mes excuses Pierre_D et kybjm.

Pierre_D vient de me faire remarquer une erreur depuis mon premier post que je corrige ainsi:

J'avais totalement oublié la puissance au denominateur.

Merci pour votre compréhension.