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Mise au carré de n variables aléatoires

Posté par
leo210605 20-05-24 à 16:03

Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer que :
(X1+X2+...+Xn)2 = Σni=1(Xi)^2+ 2Σni=1Σnj=1, j≠iXiXj
j'ai l'impression que c'est ça mais une correction dans un livre (dans lequel il y a par ailleurs pas mal de coquilles me dit que ce n'est pas ça)
Merci de vos réponses

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:32

salut

il faut enlever le facteur devant la double somme car tu comptes quatre fois chaque produit :

par exemple avec (i, j) = (1, 2) et (i, j) = (2, 1) pour lesquelles on a bien i \ne j

et tu peux vérifier en prenant par exemple n = 4 (ou n = 3)

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:33

le facteur 2 !!

Posté par
verdurinre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:37

Bonsoir,
il me semble que le facteur 2 est en trop : tu vas avoir dans ta somme X_1X_n et X_nX_1.
Pour avoir le facteur 2 j'écrirais plutôt
\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2= \sum_{i=1}^n x_i^2+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j

Posté par
Ulmierere : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 20:58

C'est simplement une histoire de distributivité du produit sur l'addition

\begin{array}{lcl} \\ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 &=& \sum_{i=1}^n x_i \times \sum_{j=1}^n x_j\\ \\ &=& \sum_{i=1}^nx_i\left(\sum_{j=1}^n x_j\right)\\ \\ &=& \sum_{i=1}^nx_i\left(x_i + \sum_{j=1, j\neq i}^n x_j\right)\\ \\ &=& \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1, j=1, i\neq j}^n x_ix_j \\ \end{array}

Posté par
leo210605re : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 22:29

Merci beaucoup !

carpediem @ 20-05-2024 à 16:32



salut

il faut enlever le facteur devant la double somme car tu comptes quatre fois chaque produit :

par exemple avec (i, j) = (1, 2) et (i, j) = (2, 1) pour lesquelles on a bien i \ne j

et tu peux vérifier en prenant par exemple n = 4 (ou n = 3)

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 21-05-24 à 08:14

de rien


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