Niveau autre

mod..

Posté par
sabaga 22-11-13 à 08:38

bonjour.

déterminer les valeurs $n\in\mathbb{N}$ tel que (au même temps)

$\ n \equiv 2\left[ 5 \right] \\ \\ n \equiv 3\left[ 7 \right] \\ \\ n \equiv 32\left[ {51} \right] \\\ \\$
merci d'avance.

Posté par re : mod.. 22-11-13 à 10:05

salut

on pose  n = 5k + 2 = 3 + 7k' = 32 + 51k"

ce qui entraine l'ecriture de 3 équations

5k - 7k' =  1
5k - 51k" = 30
7k'- 51k" = 29

la resolution de ce systeme donne  k = (30+5p)/5   k' =(29+51p)/7   et k" = p

on a donc  51.p = 5k - 30 = 7k'- 29

la resolution de 5k - 30 = 7k'- 29   soit  5k -7k' = 1  fourni comme solutions

k= 3+7.j   et k' = 2+5.j

et donc  51.p = -15 + 35j    ou encor  51.p = -15[35]  , reste à determiner p à partir de cette équation

on sait 51*11 = 561 = 1[35]  soit aussi 561.p = p[35] en multipliant donc par 11 l'équation 51.p = -15[35]  on

obtient  561.p = -165[35] soit aussi 561.p = -25[35]  en soustrayant les deux équation en gras on obtient

p = -25[35]

ou encor p = -25 + 35.v   ce qui fournit une valeur pour k = (30 + 51.(-25+35.v)) /5  = -249+357.v

et donc n = 5k + 2  = 5.(-249+357.v) + 2 = -1243 + 1785.v  et donc n = -1243[1785]

Posté par re : mod.. 09-12-13 à 08:26

flight
merci baucoup

Posté par re : mod.. 09-12-13 à 10:44

Bonjour,

on peut aussi :
considérons le premier système seul
$\small n \equiv 2\left[ 5 \right] \\ n \equiv 3\left[ 7 \right]$
le résoudre, ce qui donne $\small n \equiv 17\left[35\right]$ (je te laisse faire le calcul, voir la méthode proposée par flight)

puis considérer le second système
$\small n \equiv 17\left[35\right] \\ n \equiv 32\left[51\right]$

et le résoudre de même
ça évite d'avoir des entiers représentés sous forme de fractions

enfin on peut aussi utiliser directement le théorème des restes chinois dans toute sa généralité avec calcul des inverses modulo m et écriture directe de la solution à partir de ces trois inverses

inverse de 7x51 modulo 5 qui est 3 (3x7x1 = 21 1 [5]
inverse de 5x51 modulo 7 qui est le même que l'inverse de 3 et qui est 5 (5x3 = 15 1 [7])
inverse de 5x7 modulo 51 qui est 35 lui même
(3 fois l'algorithme d'Euclide ou "évidentes")

et alors on a directement
n 2x7x51x3 + 3x5x51x5 + 32x5x7x35 [5x7x51]
j'ai souligné les inverses calculés précédemment.
en effet si on calcule modulo 5 on a bien :
7x51x3 1 [5] puisque 3 est précisément l'inverse de 7x51
et les deux autres s'anullent (il y a un facteur 5 dedans)
et donc on a bien n 2 [5]
idem pour les deux autres congruences.

cette méthode est généralisable à un nombre quelconque de congruences du moment que le théorème des restes chinois s'applique, c'est à dire que les modules sont premiers entre eux (deux à deux).