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Modèles définis par une fonction d'une variable

Posté par
GertrudeParis 16-10-21 à 10:16

Bonjour à tous! J'espère que vous allez bien!
J'ai un petit problème en Maths Co. Merci d'avance!

Énoncé:
Lorsqu'un générateur électrique de force électromotrice E (en volt) et de résistance interne r (en ohm) est relié à une résistance R, la force E est donnée par la formule:

E= (r+R)i
où i est l'intensité du courant (en ampère).

Image

La puissance P (en watt) délivrée par le générateur est définie par
P= Ri²
On donne E=10V et r= 20 Ω

1. Montrer que l'on a P=\frac{100x}{(20+x)^2}

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle \left[0;50 \right] inclus par:
f(x) = \frac{100x}{(20+x)^2}

Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

3. Pour quelle valeur de R la puissance P est-elle maximale? Que vaut alors cette puissance?

Modèles définis par une fonction d\'une variable

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:22

Bonjour,
Qu'as-tu essayé? Trouvé?
Où bloques-tu?

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:24

Je suppose qu'à un endroit dans l'énoncé, on te dit que la résistance R est de x.
C'est à dire que la variable x est la valeur de la résistance R...

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:27

Bonjour, et merci d'avoir pris le temps de m'aider:
Voilà où je bloque:
On nous dit que E= (r+R)i
et P= Ri²
E=10V et r= 20 Ω

Donc 10= (20 +R)i
10= 20 x i + R x i
et la je ne sais plus comment mettre R x i au carré pour le remplacer par P.

C'est ce que j'ai fais...

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:33

E=(R+r)i\; donc\; i=\dfrac{E}{R+r}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:37

D'accord, donc:

i = \frac{E}{R+r} = \frac{(r+R)i}{R+r}= \frac{r \times i+ R\times i}{R+r}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:38

Ah non je n'aurais pas du
Attendez je vais refaire

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:39

Le calcul de i que je t'ai donné n'est qu'une étape.
Elle doit t'aider à exprimer P

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:39

Citation :
Attendez je vais refaire
OK

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:39

i = \frac{E}{R+r} = \frac{10}{R+20}

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:40

C'est juste. Continue

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:44

Ah!!
On nous dit que P = Ri2
et i = \frac{E}{R+r}
Donc P= (R x \frac{E}{R+r})2

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:47

Presque. Le R ne doit pas être dans la parenthèse car seul i est au carré

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:47

P= R2  x  \frac{E}{R+r} ^{2}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:48

Je n'avais pas fait attention
Donc on reprend:
P= R (\frac{E}{R+r})2

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:49

Ensuite, fais un choix. Si tu commences avec les valeurs numériques, continue avec. Ne reviens pas au littéral.
Le mieux est de tout faire en littéral puis de faire l'application numérique à la fin.

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:49

Ah ca na pas pris la formule

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:50

Oui, on a donc P=R(\dfrac{E}{R+r})²

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:50

C'est ce que j'étais entrain de saisir mais je suis trop lente

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:51

Euh la je ne vois pas comment faire par contre....

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:52

Je remplace les valeurs numériques?

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:53

P= R( \frac{10}{R+20})^{2}

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:53

Remplace E et R par leurs valeurs
Sans oublier que (\dfrac{a}{b})^2=\dfrac{a^2}{b^2}

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:53

Oui

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:54

P= R( \frac{100}{(R+20)^{2}})

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:55

C'est là qu'il faut comprendre qu'on confond x et R

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:55

On peut enlever les parenthèses:
P= R \times \frac{100}{(R+20)^{2}}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:57

P= R \times \frac{100}{(R+20)^{2}} = \frac{100R}{(R+20)^{2}}

J'ai pas compris, comment ça on les confond?

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 10:57

Vous parlez de la question 2?

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:00

Quand on fait des calculs en électricité, on note les résistances r, R, R3....
Quand on étudie des fonctions d'une variable réelle en maths, on note le plus souvent la variable x.
Si tu regardes bien ton énoncé et le résultat du calcul de P que tu viens de faire, tu remarqueras qu'il ne te reste plus qu'à remplacer R par x pour répondre à la première question.

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:03

Oui, pour répondre à la deuxième question, il faut uniquement remplacer R par x par ce que c'est f(x) et donc on remplace R par x

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:04

A la première aussi (si ton énoncé est le bon)
Continuons donc...

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:05

On a réussi la question 1
Pour la 2, il faut dériver:

f(x)= \frac{100x}{(x+20)^{2}}

Donc U(x) = 100x et U'(x) = 100
V(x) = (20+x)2 et V'(x) = 2(20+x)
J'ai un dote pour la dérivée de V(x)

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:07

C'est ça: (u^n)'=nu'u^{n-1}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:09

Monsieur, je tiens à vous dire que vous avez tout à fait raison
Félicitations!
Je me suis trompé, la première question il ne fallait que trouver que :
P=\frac{100R}{(20+R)^{2}}

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:09

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:10

Je m'en doutais un peu

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:10

Ah me voila perdu,
J'aimerais juste regarder mon cahier de leçon rapidement pour vérifier, ça prendra 5 minutes!

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:13

De mon côté, je dois m'absenter 1/2h environ.
Je vais chercher ma voiture chez le garagiste.
A tout à l'heure.
En attendant, n'hésite pas à faire des essais même si parfois tu fais des erreurs. C'est comme ça que tu t'amélioreras encore.
Et moi, je ne te note pas

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:14

Oui moi je vais continuer de mon coté!
A tout à l'heure!

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:27

V(x)= (20+x)^{2 }
V'(x)= 2\times 1 \times (20+x)^{2-1} = 2 \times (20+x)

Enfin je pense...

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 11:27

1 c'est la dérivée de (20+x)

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:31

Quand je t'avais écrit "C'est ça", c'était pour te dire que ton calcul de v'(x) était bon.

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:33

Rebonjour!
Et c'est quoi la formule que vous avez mis après?

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:35

La formule de dérivation de la fonction u à la puissance n
Que tu as parfaitement appliquée

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:38

Ah oui parce que moi dans mon cours c'est directement écrit avec la puissance 2. La votre elle est plus générale, ça tombe bien j'en avais besoin pour un autre exo

On va maintenant appliquer U'V-UV' / V^2

Posté par
sanantonio312re : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:40

Presque: (U'V-UV' )/ V^2

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:42

Ah pardon, j'ai pas fais attention !
f'(x)= \frac{(100 \times (20+x)^{2}-100x \times 2(20+x))}{((20+x)^{2})^{2}}

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:46

Excusez-moi, mais ça vous dérange que je vous met en image le calcul de ma feuille? parce que c'est très long de le taper

Posté par
GertrudeParisre : Modèles définis par une fonction d'une variable 16-10-21 à 12:52

Juste une petite question: Je peux faire 100x \times 40 ?

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