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Module d'un complexe au carré
Bonjour,
je bloque sur le calcul de ⎮1+z⎮ ^2 avec z un nombre complexe non nul. Comment développer ?
Je dois montrer que pour z un complexe non nul vérifiant ⎮1+z⎮= 1 + ⎮z⎮, z est un réel strictement positif . J'ai pensé à mettre au carré mais je ne sais pas comment le faire pour le premier membre.
j'aurais aimé trouver une solution autre que poser z=x+iy...mais vois rien de simple...
quelqu'un aura peut-être une autre idée
tu poses z=x+iy avec x et y réels
et effectivement tu peux passer au carré, ce sera quand même plus sympa....
attention
si tu mets le membre de gauche au carré, tu dois en faire autant à droite
⎮1+z⎮²= (1 + ⎮z⎮)^2
je pense que tu t'es trompé en développant le membre de droite
Oui je me suis trompée. Je trouve finalement :
x = 
(x2 + y2) + xy
Est-ce qu'ont en déduire que y = 0 donc que z est un réel non nul ?
Ah une erreur de recopiage. Je reprends tout :
1 + 2x + x2 + y2 = 1 + 2(x2 + y2) + x2 + y2
Et donc x = (x2 + y2)
ne brûle pas les étapes !
x = (x2 + y2)
tu vas élever au carré, et ce sera équivalent à condition de garder sous le coude le fait que x qui est égal à une racine carrée, doit rester positif
tu obtiens donc
Ah, l'énoncé précisait que z est non nul.
D'accord, j'ai compris merci beaucoup !
Un dernière précision : j'ai trouvé en correction (avec z le conjugué de z)
⎮1+z⎮²= (1 + ⎮z⎮)^2 est équivalent à
1 + z + z + zz = 1 + 2⎮z⎮ + zz
Donc 2Re(z) = 2⎮z⎮, ainsi z est un réel.
Je ne comprends pas le passage de la première à la seconde ligne...
oui, c'est cette démonstration que j'avais d'abord écrite, et j'ai craint que certaines choses ne soient pas connues de toi
on peut montrer que
donc tu remplaces chaque carré de module par le produit du complexe par son propre conjugué
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