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Module d'une fonction entière

Posté par
Serbiwni 16-11-21 à 21:50

Bonsoir,

Je m'intéressais à l'exercice suivant :

Soit f une fonction entière, pour tout r > 0, on pose M(r)=\sup_{|z|=r}|f(z)|

On suppose qu'il existe un entier p tel que \lim_{r\to+\infty} \frac{M(r)}{r^{p+1}}=0.

On veut montrer que f est un polynôme de degré au plus p.

Premièrement, je suis surpris que l'on écrive pas M(r) sous la forme suivante : vu que f est analytique, M(r)=\sup_{|z|=r}|f(z)|=\sup_{|z|=r} \sum_{n=0}^\infty \lvert a_n\rvert \lvert z \rvert ^n =  \sum_{n=0}^\infty \lvert a_n\rvert r^n, cependant cela semble signifier que la fonction a un module constant sur un cercle de rayon r centré en 0 ce qui me laisse perplexe.

En s'appuyant sur cela, je dis ensuite que \lim_{r\to+\infty} \frac{M(r)}{r^{p+1}}=0 signifie que \lim_{r\to+\infty} \frac{\lvert a_0 \rvert}{r^{p+1}} + ... + \lvert a_{p+1} \rvert +\lvert a_{p+2} \rvert r + \cdots =0 puis d'avoir que \lim_{r\to+\infty}  \lvert a_{p+1} \rvert +\lvert a_{p+2} \rvert r + \cdots =0

mais je n'arrive pas à conclure pour montrer que chacun des coefficients ak avec k plus grand ou égal à p+1 est 0...

Est-ce la bonne voie ? Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
bernardo314re : Module d'une fonction entière 16-11-21 à 22:20

Bonsoir,

Il n'y a pas de raison pour que le module de la somme soit égal à la somme des modules...donc ta ligne d'égalité n'est pas correcte.

Tu peux par contre partir de la série entière définissant  f(z)  et exprimer   chaque coefficient  an  comme une intégrale sur le cercle de centre  0  et de rayon  r....puis majorer...

Posté par
Serbiwnire : Module d'une fonction entière 16-11-21 à 23:42

Effectivement je confonds chaque fois avec le conjugué complexe sacrebleu


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