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Module et argument de 1+e^(i2thêta)

Posté par
athrun 14-11-09 à 21:11

Bonsoir ,

je ne suis pas du tout sûr de moi pour cet exercice :

Citation :
Soit le nombre complexe 2$z défini par 3$z=1+e^{i2\theta}, 3$\theta\in[\frac{-\pi}{2};\frac{3\pi}{2}] (j'ai moi-même restreint l'intervalle pour commencer)


Alors, on a :      3$z=1+e^{2i\theta}

on sait que :      3$cosx+isinx=e^{ix}

donc        :      3$z=1+cos(2\theta)+isin(2\theta)

3$Re(z)=1+cos(2\theta), 3$Im(z)=sin(2\theta)
______________________________________

I) Calculons le module de 2$z :

4${|z|}^2={(1+cos(2\theta))}^2+{(sin(2\theta))}^2 \\ {|z|}^2=1+2cos(2\theta)+cos^2(2\theta)+sin^2(2\theta) \\ {|z|}^2=1+2cos(2\theta)+1 \\ {|z|}^2=2+2cos(2\theta)

comme : 2$cos(2\theta)=2cos^2(\theta)-1 (formule de linéarisation), on a :

4${|z|}^2=2+4cos^2(\theta)-2 \\ {|z|}^2=4cos^2(\theta)

4$|z|=\sqrt{4cos^2(\theta)} \\ |z|=2|cos(\theta)| \\ |z|=2cos(\theta)\forall\theta\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \\ |z|=-2cos(\theta)\forall\theta\in[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]



II) Calculons un argument de 2$z :

Soit 3$\alpha un argument de 3$z :


Pour tout 3$\theta\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}] :

4$cos(\alpha)=\frac{1+cos(2\theta)}{2cos(\theta)}=\frac{2cos^2(\theta)}{2cos(\theta)}=cos(\theta) \\ sin(\alpha)=\frac{sin(2\theta)}{2cos(\theta)}=\frac{2sin(\theta)cos(\theta)}{2cos(\theta)}=sin(\theta)

D'après 2$sin(\alpha)=sin(\theta), j'en déduis que 3$\fbox{\theta=\alpha} ?


Pour tout 3$\theta\in[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}] :

4$cos(\alpha)=\frac{1+cos(2\theta)}{-2cos(\theta)}=\frac{2cos^2(\theta)}{-2cos(\theta)}=-cos(\theta) \\ sin(\alpha)=\frac{sin(2\theta)}{-2cos(\theta)}=\frac{2sin(\theta)cos(\theta)}{-2cos(\theta)}=-sin(\theta)

D'après 2$sin(\alpha)=-sin(\theta), j'en déduis que 3$\fbox{-\theta=\alpha} ?
______________________________________


Voilà ... merci de votre aide !

Posté par
esta-fettere : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 14-11-09 à 21:21

bonsoir...


4$z=1+e^{i2\theta}= 2 e^{-i\theta}\frac {e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = 2 e^{-i\theta} cos (\theta)

= 4$ 2 cos (\theta) e^{-i\theta}

si cos théta est positif, on a le module et l'argument...

j'espère ne pas m'être trompé...

Posté par
thierry45madaPas si complexe que çà 14-11-09 à 21:26

Bonsoir,

Tu as pris un chemin bien compliqué.

Tu as bien z=1+cos(2)+isin(2)
Faut se rappeler que 1+cos(2)=2cos², et que sin(2)=2sin.cos
Donc : z=2cos²+2isin.cos

Tu en déduis que :
Pour -/2/2 (autrement dit cos0) Module(z)=2cos et Argument(z)=
Pour /23/2 (autrement dit cos0) Module(z)=-2cos et Argument(z)=+

Posté par
esta-fettere : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 14-11-09 à 21:26

voila j'aère un peu...



4$z=1+e^{i2\theta}=\\ 2 e^{-i\theta} \ \times \ \frac {e^{i\theta} +e^{-i\theta}}{2} = \\2 e^{-i\theta} cos (\theta)

Posté par
veledare : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 14-11-09 à 21:37

bonsoir,

z=1+e^{2i\theta}=e^{i\theta}(e^{-i\theta}+e^{i\theta})=2cos(\theta)e^{i\theta}
*cos(\theta)>0=>|z|=cos(\theta);argz=\theta[2\pi]
**cos(\theta)<0=>|z|=-cos(\theta);argz=\theta+\pi [2\pi]
***cos(\theta)=0 z=0;pas d'argument

donc, je suis d'accord pour le module
pour l'argument  compare avec ce que je viens d'écrire

Posté par
athrunre : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 14-11-09 à 23:28

Bonsoir esta-fette, thierry45mada et veleda.


Tout d'abord je voudrais grandement vous remercier pour vos réponses

Il se fait tard alors j'étudierai vos réponses demain !

En attendant, je vous souhaite une bonne soirée

Posté par
athrunre : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 15-11-09 à 12:57

Bonjour

@ esta-fette :

merci pour votre méthode !

vous mettez : 3$z=1+e^{i2\theta}=2e^{-i\theta}\times\frac{e^{-i\theta}+e^{i\theta}}{2},

ce qui donne, en développant : 3${(e^{-i\theta})}^2+(e^{-i\theta})(e^{i\theta})=e^{-i2\theta}+1\neq z puisque 3$z=1+e^{i2\theta}

Alors ne serait-ce pas plutôt : 3$z=1+e^{i2\theta}=2e^{i\theta}\times\frac{e^{-i\theta}+e^{i\theta}}{2}={(e^{i\theta})}^2+(e^{-i\theta})(e^{i\theta})=e^{i2\theta}+1

Voilà je vous demande cela d'abord pour clarifier les choses.
___________________________________________

@ thierry45mada :

Merci pour votre méthode qui est en réalité analogue à la mienne, mais vous avez dès le début modifié les cosinus/sinus donc c'est mieux

___________________________________________

@ veleda :

Je comprends aussi tout ce que vous avez mis, merci pour :

quand 2$cos(\theta)=0, 2$z=0 et un nombre complexe nul n'a pas d'argument

Posté par
esta-fettere : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 15-11-09 à 15:58

bonjour,oui, vous avez raison.....

sinon, c'est la méthode souvent utilisée pour avoir module et argument facilement....

Posté par
athrunre : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 15-11-09 à 20:41

Merci de me la faire découvrir alors

On a donc :      4$z=2cos(\theta)e^{i\theta}

Modules :

on a donc 3$|z|=2cos(\theta) quand 4$cos(\theta)>0 donc quand 2$\theta\in]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}[
          

3$|z|=-2cos(\theta) quand 4$cos(\theta)<0 donc quand 2$\theta\in]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[
          

3$|z|=0 quand 2$cos(\theta)=0 donc quand 4$\theta=\frac{-\pi}{2} ou 4$\theta=\frac{\pi}{2}

Arguments :

2$\theta\in]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}[, 4$z=2cos(\theta)e^{i\theta}, 4$arg(z)=\theta 4$[2\pi]


2$\theta\in]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[, 4$z=-2cos(\theta)e^{i\theta}, j'en déduis quoi pour l'argument de z dans ce cas-là ?


4$\theta=\frac{-\pi}{2} ou 4$\theta=\frac{\pi}{2}, 4$z=0, pas d'argument.

Posté par
veledare : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 15-11-09 à 22:07

**si cos\theta<0 z=(-cos(\theta))(-e^{i\theta})=>arg(z)=arg(-1)+arg(e^{i\theta})=\pi+\theta [2\pi]

Posté par
athrunre : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 16-11-09 à 18:34

Bonsoir veleda,

je ne comprends pas comment vous obtenez 3$arg(z)=arg(-1)+arg(e^{i\theta})

Posté par
veledare : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 16-11-09 à 19:52

argument d'un produit=somme des arguments
on a iciz=-cos\theta(-e^{i\theta})=>argz=arg(-cos\theta)+arg(-1)+arg(e^{i\theta})
-cos\theta>0=>son argument est nul
arg(-1)=\pi [2\pi]
arg(e^{i\theta})=\theta[2\pi]
tu fais la somme des trois  le compte est bon

Posté par
athrunre : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 16-11-09 à 20:04

Ah ok je captais plus que quand 3$z=abcd...

3$arg(z)=arg(a)+arg(b)+arg(c)+arg(d)+...


Merci beaucoup pour votre belle méthode veleda !

Posté par
veledare : Module et argument de 1+e^(i2thêta) 16-11-09 à 20:06

je t'en prie,bon courage


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