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Niveau Licence Maths 1e ann
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Module Nb Complexe

Posté par
RaphouFou 30-09-17 à 13:33

Bonjour, j'ai un petit problème sur un exercice... J'ai presque résolu la question 1 mais je bute sur un calcul. Voici l'énoncé :
\text{Soient} \ z \in \mathbb{C}_{\neq 0} \text{tel que} \ z^{3}=\frac{i}{\bar{z}}.
1) Prouver que |z|=1.
2) Déterminer z.
Voici où j'en suis pour la 1) :
z^{3}\bar{z}=i
|z^{3}\bar{z}|=|i|
|z^{3}||\bar{z}|=1
|\bar{z}|=|z| \ \text{donc} |z^{4}|=1
Je bloque à ce stade là...
Pour la question 2) on m'a conseiller de poser z=x+iy et de résoudre l'équation sur x et y qui amènera donc un système de 2 équations (une sur la partie réel et une sur la partie imaginaire).
Voici où j'en suis :
Soit z=x+iy
(x+iy)^{3}=\frac{i}{\bar{x-iy}}
Merci d'avance de votre aide !

Posté par
Schtromphmolre : Module Nb Complexe 30-09-17 à 13:45

Bonjour,

Pour rappel pour tout (a,b) € C et p € N, |ab| = |a||b| et donc |a^p| = |a|^p.

Posté par
RaphouFoure : Module Nb Complexe 30-09-17 à 14:07

Ah d'accord merci je n'avais pas ceci dans mon cours
Aurait-tu une piste pour la question 2 Schtromphmol stp ? Ce que j'ai commencé est une bonne idée ?

Posté par
Schtromphmolre : Module Nb Complexe 30-09-17 à 14:33

Pour le 2 comme tu sais que |z| = 1 tu peux poser z = e^(it).

Posté par
luzakre : Module Nb Complexe 30-09-17 à 14:38

Bonjour !
Il serait surtout utile de savoir que |z|^2=z\bar z=1...

Posté par
Razesre : Module Nb Complexe 30-09-17 à 14:56

Tu as trouvé: z^{3}\bar{z}, fait apparaitre z\bar{z} pour simplifier ton expression.

Posté par
RaphouFoure : Module Nb Complexe 30-09-17 à 17:52

J'en suis donc à la 2) avec z=ei mais dans notre cas l'argument theta n'est pas "défini" n'est ce pas ?

Posté par
luzakre : Module Nb Complexe 30-09-17 à 18:14

Eh ! Tu as |z|=1 donc z\neq0.
Ensuite, puisque \dfrac1{\bar z}=z tu obtiens z^3=z et il ne reste pas beaucoup à faire.


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