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Monotonie fonction degré 5
Bonjour !
Mq l'équation x^5 + x^3 - x^2 + x +1 =0
Admet une unique solution dans I = ]-oo;1/2]
Pour determiner l'image de f(I), je veux determiner la monotonie de
5x^4 + 3x^2 - 2x. (Prenant y=-1)
Bon je sais que f s'annule en 0, et sa dérivé est un polynome de 3e degré qui pose même problème pour déterminer le signe. J'ai essayé de monter à la dérivé 3e qui est 60x^2 +6, mais cela n'a rien ajouté, car même si f"(x) est croissante alors (20x^3 +6x -2), c'est difficile de determiner c tq f"(c) =0 .
À l'aide svp !!
bonsoir
juste une idée
f(x) = x⁵ + x³ - x² + x + 1
peut-être appliquer le TVI sur f '', pour montrer qu'elle admet une seule racine 
,
en déduire son signe, puis étudier signes et variations en cascades...
salut
la fonction est une fonction strictement croissante sur ]-oo, 0] comme somme de quatre fonction strictement croissante sur ]-oo, 0]
salut
la fonction
carpediem
Y a t il un théorème ou propriété qui dit cela ?? Pardon , mais j'en ai jamais entendu parlé 😅
ça se démontre niveau seconde avec la définition d'une fonction (dé)croissante ... de façon élémentaire ...
carpediem
Oui c'est évident, mais cela pose problème en rédigeant une reponse si cela n'etait pas donné au cours ...
Bon merci beaucoup !
c'est un moyen très simple ...
maintenant tu peux remarquer que est strictement négative sur I = ]-oo, 0]
donc f' est strictement décroissante sur I
or f'(0) = 0 donc f' est strictement positive sur ]-oo, 0[ et f est strictement croissante ...
mais bon je préfère autrement mon autre raisonnement ...
certes je ne 'ai pas lu 1/2 mais -1/2 ... donc j'entends ta remarque ...
et je la résous immédiatement en te répondant qu'il est évident que f'(x) est strictement positif sur [0, 1/2] ...
en corrigeant encore une autre erreur due à Khola22 : f'(0) = 1 ...
désolé ...
PS : mais bon j'aurai pu lire plus attentivement ...
pour Khola22
x->x^5 est continue strictement croissante sur ]-inf;1/2]
x->x^3 est continue strictement croissante sur ]-inf;1/2]
x->-x^2+x+1 est continue strictement croissante sur ]-inf;1/2]
donc x->x^5+x^3-x^2+x+1 est continue strictement croissante sur ]-inf;1/2]
à finir
ça je l'avais déjà dit ... il n'était pas nécessaire de donner une réponse toute faite ...mais éventuellement une indication ...
voir 
Images directes et réciproques
première méthode que j'ai proposée : une somme de fonctions strictement croissante est strictement croissante ...
j'ai travaillé sur l'intervalle ]-oo, 0] car j'ai lu l'intervalle ]-oo, -1/2] ... mais c'est l'intervalle ]-oo, 1/2]
merci à alb12 pour la remarque ... et il suffit de réfléchir et adapter si on veut appliquer la même méthode
suite à
carpediem
Oui c'est évident, mais cela pose problème en rédigeant une reponse si cela n'etait pas donné au cours ...
Bon merci beaucoup !
voir mes msg suivants ... pour montrer qu'on peut le faire avec la dérivée ...
ok toujours sur le mauvais intervalle mais je réponds qu'il n'y aucun pb !!
preuve : sur [0, 1/2] :
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