Bonjour

La solution de ce problème demande une attention particulière car il faut "savoir" à quel  type d'emprunt on doit trouver la solution.

a) D'après "vos" connaissances dans quel type d'emprunt on se trouve ?

b) et la (bonne) réponse à la question a) ci-dessus vous permettra de répondre à votre question :  "c'est pourquoi il a été nécessaire d'ajouter « (1+i)^-1 », et donc d'actualiser sur 1mois"

NB : j'aimerais connaître les "etc etc " de la solution....

Bonjour,

Merci pour votre réponse rapide.

a/b) Justement j'ai regardé différentes corrections de différents chargées de TD et la seule réponse que j'ai trouvé est « on actualise sur 1mois car c'est un emprunt »... J'ai notamment chercher dans mon cours mais je ne trouve pas pourquoi il est nécessaire d'actualiser sur 1mois. Est-ce un emprunt indivis ?

Suite des calculs :
<=> Vact = 8475,405€
On applique la formule des annuités constantes (dans ce cas-ci se sont des mensualités)
M = (0,526% * 8475,705) / (1-(1+0,526%)^-24))
M = 373,82

PS : J'ai un QCM la semaine prochaine et nous avons le droit à une marge de +\-0,05 pour le résultat. Or, les résultats diffèrent selon les arrondis. Combien de décimales dois-je garder pour les calculs intermédiaires?

Je vous remercie !

Bonjour

I - NOTIONS PREALABLES DE DROIT COMMERCIAL (ou de COMPTABILITE)

1°) EMPRUNT ORDINAIRE ou EMPRUNT INDIVIS

Un EMPRUNT ORDINAIRE ou EMPRUNT INDIVIS  est un emprunt réalisé auprès d'UN SEUL PRETEUR.

Il est généralement REMBOURSABLE en un temps déterminé par une SERIE de VERSEMENTS EGAUX ou NON, PERIODIQUES ou NON.

Le "cas classique"  porte exclusivement  sur les EMPRUNTS INDIVIS remboursables par des annuités (ou versements) périodiques et constantes, DONT LA PREMIERE ANNUITE EST PAYABLE UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT.

2°) Les EMPRUNTS-OBLIBATIONS

Un emprunt est dit EMPRUNT-OBLIGATIONS quand son montant , en général important, est DIVISEé en un nombre plus ou moins grand de parts égales, appelées OBLIGATIONS.

L'obligation est représentée par un titre numéroté qui est remis au prêteur contre le versement d'une certaine somme fixée à l'avance.

L'obligation s'analyse donc comme un titre représentatif d'un prêt, et à ce titre donne à son titulaire le droit de :

- percevoir des intérêts à un taux fixé,
- obtenir le remboursement de son prêt à une date fixée.

II - ETUDE DES EMPRUNTS INDIVIS

A) DEFINITION

Un EMPRUNT ORDINAIRE ou EMPRUNT INDIVIS  est un emprunt réalisé auprès d'UN SEUL PRETEUR.

Il est généralement REMBOURSABLE en un temps déterminé par une SERIE de VERSEMENTS EGAUX ou NON, PERIODIQUES ou NON.

Le "cas classique"  porte exclusivement  sur les EMPRUNTS INDIVIS remboursables par des annuités (ou versements) périodiques et constantes, DONT LA PREMIERE ANNUITE EST PAYABLE UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT,
et les annuités sont alors dites "IMMEDIATES".

B) FORMULE GENERALE

La formule fondamentale dans le cas d'un emprunt indivis DONT LA PREMIERE ANNUITE EST PAYABLE UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT est :

Vₒ  = a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i

avec :

Vₒ  = capital emprunté
a = l'annuité (versement) constante
n = le nombre d'annuité (versement)
i = le taux periodique pour 1

(NB : le taux est exprimé pour une unité monétaire et non pas pour "100" ou "%" : faire très attention…..)

C) AUTRES FORMULES POUR DES CAS "VARIANTS" (comme le COVID19)

Il se peut (surtout dans les exercices scolaires et universitaires!!!!) que LA PREMIERE ANNUITE N'EST PAS LIEU EXACTEMENT UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT.

Dans ce cas, deux possibilités peuvent se présenter :

1) PREMIERE POSSIBILITE

La première annuité a lieu PLUS d'UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT Vₒ on dit qu'il s'agit alors "D'ANNUITES DIFFEREES"  et la formule devient

Vₒ  = {  a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i  } ( 1 + i )  ¯   ͫ

avec :

Vₒ  = capital emprunté
a = l'annuité (versement) constante
n = le nombre d'annuité (versement)
i = le taux periodique pour 1
m = le nombre d'annuité (versement) différées

(NB : le taux est exprimé pour une unité monétaire et non pas pour "100" ou "%" : faire très attention…..)

2) DEUXIEME POSSIBILITE

La première annuité a lieu MOINS d'UNE PERIODE APRES L'EMPRUNT Vₒ on dit qu'il s'agit alors "D'ANNUITES ANTICIPEES"  et la formule devient

Vₒ  = {  a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i  } ( 1 + i )ᵈ                                                                                                                                                      
avec :

Vₒ  = capital emprunté
a = l'annuité (versement) constante
n = le nombre d'annuité (versement)
i = le taux periodique pour 1
d = le nombre d'annuité (versement) anticipée

(NB : le taux est exprimé pour une unité monétaire et non pas pour "100" ou "%" : faire très attention…..)

Bonsoir,

Merci pour cette réponse très complète, je comprends mieux dans quel cas l'exercice se situe.
Du coup si j'ai bien compris, puisque je suis dans le cas où la première annuité est différée donc j'utilise : Vₒ  = {  a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i  } ( 1 + i )  ¯   ͫ
Avec m = le nombre d'annuité (versement) différées. Dans mon cas, pourquoi 1 versement est différé?

La fin de l'étude qui n'est pas bien passée......


III - PROPOSITIONS DE SOLUTIONS DU PROBLEME

A) PREMIERE PROPOSITION

1)Calcul du taux équivalent mensuel de cet emprunt.

a) le taux annuel est de 6,50   % l'an soit 0,065   pour 1 par an.

b) le taux équivalent mensuel est de

( 1 + 0,07   )  ¹/¹²  - 1  = 1,065   ¹/¹²  -1 =
1,005261694 -1 = 0,005261694 pour 1 par mois soit 0,526169428 % par mois

pour la suite des calculs on prendra  i = taux mensuel 0,00526169 pour 1

2) Détermination du montant de l'emprunt souscrit au moment de l'acquisition du véhicule

Le prix d'achat du véhicule est de 14 000,00   euros
Le versement comptant est de 6 000,00   euros
Le montant du crédit est de :
14 000,00   -6 000,00   = 8 000,00   euros

3) Détermination du montant de l'emprunt capitalisé au bout de  11 mois

8 000,00   ( 1   +   0,00526169 ) ¹¹ = 8 000,00   * 1,00526169 ¹¹
= 8 000,00   * 1,059425577
= 8 475,4046  

4) Détermination du montant de la mensualité

On est en présence d'un emprunt indivis dont la première annuité (mensualité) est payable une période (un mois) après la date de capitalisation de l'emprunt.

La formule à utiliser est :

Vₒ  = a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i

avec :

Vₒ  = capital emprunté = 8 475,4046  
a = l'annuité (versement) constante à calculer
n = le nombre d'annuité (versement) = 24
i = le taux périodique pour 1 0,00526169 pour 1

CALCULS INTERMEDIAIRES
( 1+ i ) = 1,00526169
( 1 + i ) ¯ⁿ  = 0,881659373

La formule devient :

8 475,4046   =  a    [ 1- 0,881659373 ]  / 0,00526169
8 475,4046   = a  * 0,118340627 / 0,00526169
8 475,4046   = a  * 22,49099191
8 475,4046   / 22,49099191 = a
a = 376,8355  

Le montant de chaque mensualité est de 376,8355   arrondi 376,84 euros

5) VERIFICATION : le juge de paix : Etablir le tableau de remboursement de cet emprunt.

(ou alors vérification par la deuxième solution)

B) DEUXIEME SOLUTION

On doit établir la solution concernant le remboursement d'un emprunt indivis sous aux conditions suivantes :

a) montant de l'emprunt de 8 000,00   euros
b) remboursement par 24   mensualités constantes de fin de période
c) la première mensualité payable 11   mois après la souscription de l'emprunt

Nous sommes en présence d'un emprunt indivis  avec des annuités différées de fin de période et la formule de calcul est la suivante :

Vₒ  = {  a  [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ ]  /  i  } ( 1 + i )  ¯   ͫ

avec :

Vₒ  = capital emprunté  = 8 000,00  
a = l'annuité (versement) constante à calculer
n = le nombre d'annuité (versement) = 24
i = le taux periodique pour 1 = 0,00526169
m = le nombre d'annuité (versement) différées  = 11  

CALCULS INTERMEDIAIRES
( 1+ i ) = 1,00526169  
( 1 + i ) ¯ⁿ  = 0,88165937  
( 1 + i ) ¯ͫ  = 0,94390774  

La formule devient :

8 000,00   =  {   a   [  (  1 -0,88165937   ]  / 0,00526169   }  * 0,94390774  
8 000,00   =   a    [ 0,11834063   ]  / 0,00526169   }  * 0,94390774  
8 000,00   =  a * 0,11834063   * 0,94390774   / 0,00526169  
8 000,00   =  a * 0,111702634 / 0,00526169  
8 000,00     = a  * 21,22942130  
8 000,00   / 21,22942130   = a
a  = 376,8355  

Le montant de chaque mensualité est de 376,8355   arrondi 376,84 euros

C) CONCLUSION : les deux solutions donnent le même résultat ……HEUREUSEMENT.



NOTE : Combien de décimales dans les calculs intermédiaires.

Maintenant je ne suis plus "un professionnel",  je fais l'intégralité des calculs sur mon tableur favoris et je crois que les calculs sont faits avec une vingtaine de décimales et je laisse au lecteur le "soin d'arrondir".

Pour répondre à votre question quand je devais donner la consigne par arrondir je prenais l'exemple suivant :

* pour un emprunt d'un montant de 1 000 euros pour une machine à laver : le montant de l'emprunt (avec les décimales) est de 1 000,00   soit 6 chiffres  : il faut que les calculs intermédiaires comportent  7 décimales

* pour un emprunt d'un montant de 45 000 000,00   d'euros pour l'acquisition d'un avion (l'avion il est très beau)……soit 10 chiffres  : il faut que les calculs intermédiaires comportent  11 décimales

Bonsoir,

Je vous remercie infiniment j'ai tout compris. J'en suis vraiment reconnaissante.

Donc si je résume pour la capitalisation sur 11mois : en présence d'un emprunt et d'un remboursement différé (ici 1an), on calcule la valeur actuelle de l'emprunt 1 période avant le premier versement; ici on a des mensualités ce qui fait dont 1 mois avant; d'où une capitalisation sur 11mois et non 12.

Est-ce le bon raisonnement?

Bonjour

OUI  c'est le bon raisonnement : il faut prendre en compte la durée de la période entre deux remboursements consécutifs ET aussi que nous appliquons, dans ce problème, la théorie des emprunts remboursables par des ANNUITES DITES DE FIN DE PERIODE.