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Niveau Licence Maths 1e ann
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Monter une somme directe

Posté par
kip54230
25-02-21 à 18:13

Salut,

J'essaie de résoudre un exo mais je bloque.

E = C^0([0,1],R)
 \\ \forall f\in E ,    L(f)=\int_0^1 f(t)dt
 \\ F = \{f\in E , f constante\}
Montrer que E = F \bigoplus Ker(L)

Je voulais montrer que tout élément de E s'écrit comme la somme d'un élément de F et d'un élément de KerL mais je ne sais pas comment bien le faire.

Puis pour la somme directe, montrer que l'intersection de E et KerL était la fonction nulle.

Merci

Posté par
matheuxmatou
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:17

bonsoir

montrer que l'intersection est réduite à la fonction nulle ne me semble pas difficile.

Posté par
matheuxmatou
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:20

ensuite on pourra s'intéresser à ce que vaut L(f-L(f))

Posté par
kip54230
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:38

Pour l'intersection (je ne suis pas sûr) :

x \in [0,1] et h\in E
Si h \in F \cap KerL
alors, h(0) = 0 car h appartient à KerL
Et donc h(x)=h(0)=0 car h appartient à F
Donc l'intersection est bien la fonction nulle.

Posté par
matheuxmatou
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:40

je ne vois pas en quoi le fait d'appartenir à Ker(L) te donne h(0)=0 ...

et c'est quoi ce "x" ?

juste une question : tu sais ce qu'est une fonction constante ? tu sais intégrer une fonction constante de0 à 1 ?

Posté par
kip54230
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:50

Une fonction constante : f(x)=k avec k un réel
Et son intégrale entre 0 et 1 est k.

C'est dans mon noyau que j'ai dû me tromper. J'avais écris :
Ker(L) = {f appartient à E, L(f) = 0 } car L est l'intégration est linéaire

Posté par
matheuxmatou
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:55

oui ben c'est bien ça le noyau de L !

alors si tu as une fonction constante dont l'intégrale de 0 à 1 est nulle ... qu'en déduis-tu ?

Posté par
kip54230
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 18:59

Que c'est la fonction nulle .

Et comme elle est aussi constante on en déduit que l'intersection est la fonction nulle ?

Posté par
matheuxmatou
re : Monter une somme directe 25-02-21 à 19:06

quel fouillis !

va falloir apprendre à mettre de l'ordre dans tes raisonnements !

Soit f F Ker(L)

f est constante puisque fF : f(x) = k pour tout x de [0;1]

L(f) = ... = k = 0 puisque f Ker(L)

donc f est la fonction nulle

donc F Ker(L)={0}



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