salut

des e ou des u ?

si pour tout vecteur u : b(u, u) = 0 alors b est nulle

donc il existe un vecteur u (non nul) telle que b(u, u) = p 0

...

Ah de base c'est e mais je me suis dit je vais mette u c'est la même chose


Ok je vois ce que vous voulez dire mais moi mon prof m'a dit que si je me trompes pas que je vois utiliser l'identité de polarisation et voir dans quel cas c'est différent de 0
(Disjonction cas )
Bon bref ,moi de base j'avais écris seulement une ligne comme quoi b nulle donc il existe un e1 appartenant à E telle que q(u1) soit non nulle mais apparemment j'ai pas assez argumenté et justifie

     Bonjour !
    Dans l(ordre :
    On se donne
       .  un corps K de caractéristique  ≠ 2
       .  un entier  n > 2  ( on pose E := Kⁿ)
        .b : E²     K   bilinéaire  symétrique non (identiquement) nulle .

    1 .La question 1 demande donc de montrer que { x E │ b(x , x) 0 }  est non vide .
     Pour ce  faire tu supposes que b(z, z) = 0 pour tout z et tu montres  que b  = 0 .
Donc tu prends  (x , y) E²  et tu cherches  à exploiter   b(z, z) = 0 pour  des z fabriqués à partir de x et y .
A toi ...
    

Donc b=0

Après je dois faire quoi?

partir de b(z, z) = 0 pour arriver à b(z, z) = 0 ..

ce n'est pas vraiment une démonstration !!!

on suppose que b(x, x) = 0 pour tout x

alors pour tous x et y :

Ah ok je vois


Donc b=0 si b(x,x)=0
Mais en fait pourquoi on fait le cas =0 vue dans l'exo on veut que ça soit différent

on suppose que b(x, x) = 0 pour tout x et on va montrer que b(x, y) = 0 pour tout x et y donc que b = 0 !!

je ne comprends pas ce que tu fais ...

carpediem @ 13-04-2022 à 20:12

on suppose que b(x, x) = 0 pour tout x

alors pour tous x et y :

En fait dans mon énoncé ils ont dit que il faut utiliser la question 1) l'identité de polarisation

Bon je vais développer pour voir ce ça donne avec votre méthode




Avant que j'aille plus loin esce que là ou je mes uis arreté c'est correct?

ne faites pas attention à la 2me ligne c'est p=la meme chose que a 1er ligne

tu as oublié le moins du deuxième vecteur et tu n'as pas utiliser l'hypothèse faite sur b !!

posons u = (x + y)/2 et v = (x / y)/2

   Si b(s,s) = 0  pour tout  s  alors pour tout (x , y) on a :  b(x + y , x + y) = 0 donc   2.b(x,y) = 0 et comme 2 est inversible  b(x , y) = 0 .
Rq
  Si   K* et x E  il vaut mieux utiliser la notation  ^-1.x que x/ ou

Si j'essaye de faire ce que vous avez dit
b(x,y)=b(u,u)+b(u,-v)+b(v,u)+b(v,-v)=b(u,u)-b(u,v) +b(v,u)-b(v,v)=2b(u,v)


Après mon problème c'est calculer ceci je m'y perd un peu avec ces sommes division …

b(u + v, u - v) = b(u, u) + b(u, -v) + b(v, u) + b(v, -v) = 0 - b(u, v) + b(u, v) - 0 = 0

pourquoi b(u,u) et b(v,-v)= 0 pourtant l'hypothèse c'était dur b(x,x)=0

Et en plus je vois pas trop on suppose b(x,x)=0 alors b(x,y)=0 et donc b=0

Pourquoi on fait pas différent de 0 vu que l'exo dit qu'on veut monter si b0 alors il existe un vecteur e1E tel que b(e1,e1) 0

Nous on fait le cas où b est nulle

Ah pour moi raisonnement par contradiction c'est on suppose que c'est nulle et on montre que b(ei,ei) différent de 0. On a contradiction car on suppose c'est nulle et on voit que ça l'implique différent



Bon ,c'est une bonne méthode mais moi mon exo on me demande d'utiliser l'identité de polarisation

l'identité de polarisation dit que :

si q est nulle alors b est nulle ...

si q n'est pas nulle alors il existe deux vecteurs x et y tels que le second membre n'est pas nul donc tel que b n'est pas nulle ...

mais bof ... peu d'intérêt à utiliser cette identité ... puisque q(x) = b(x, x) ...

encore du pédantisme mal placé ...

Dans l'exo on considère que b non nulle

Par raisonnement absurde on suppose que b est nulle et on doit déduire que q est nulle


Âpre vous avez dit que si q non nulle alors il existe …
Comment prouvez cela rien que a partie de 2b(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y)

Bonjour,

Il n'y a aucun besoin de l'identité de polarisation puisque, d'après l'énoncé, on part d'une base qui est -orthogonale.
Si   pour tout vecteur de cette base orthogonale, quelle est la matrice de dans cette base ?

Mais peut-être ne peut-on pas faire confiance à ta transcription de l'énoncé ? Il y a la même lettre b qui désigne deux choses différentes, il y a un e1 qui devient u1, bref c'est un peu la pagaille.

Le vrai énonce c'est :

Soit b une base b-orthogonale, b : E × E → K est une forme bilin ́eaire sym etrique, E  de dimension finie n ≥ 1 et K un corps de caracteristique  ≠ 2.
1)Si b est non nulle, montrer l'existence d'un vecteur e1 E tel que b(e1,e1)0
Indication:Identité de polarisation

2)Montrer que E=Ke1 ⊕orthogonal  (Ke1)

C'est ce petit indication de l'exercice qui nous oblige à utiliser cette identité

Une indication n'oblige à rien, si elle est inutile.
Tu ne réponds pas à ma question. Je la répète :

GBZM @ 14-04-2022 à 17:35

Si   pour tout vecteur de cette base orthogonale, quelle est la matrice de dans cette base ?

Ah oui c'est dans mon énoncé ils ont dit d'une base b orthogonal mais ils n'ont pas préciser donc du coup j'ai mis soit b cette base


Pour répondre à votre question :
La matrice de b dans cette base est diagonale
Une base e est orthogonal par b ssi Mat(b,e) est diagonal .Mat(b,e)=In

Pourrait-on avoir l'énoncé exact, sans invention de ta part ?
Oui, la matrice de dans une base -orthogonale est diagonale. Et si pour tout vecteur de cette base, quels sont les coefficients de la diagonale ? Conclusion  sur ?

On se propose de donner une autre démonstration de l'existence d'une base b-orthogonale,lorsque b:ExE->K est une forme bilinéaire symétrique,E étant de dimension finie n>=1 et K étant un corps de caractéristique différente de 2

1) Si b est non nulle,monter l'existence d'un vecteur e1 E tel que b(e1,e1)0


Je pense que les coefficients de là diagonal sont nulles

Comprends-tu que le vrai énoncé n'a rien à voir avec ce que tu nous servi ?
Le vrai énoncé commence par "On se propose de donner une autre démonstration de l'existence d'une base b-orthogonale".
Ta version commence par "Soit b une base b-orthogonale". Tu supposes le problème résolu. Ma réserve "Mais peut-être ne peut-on pas faire confiance à ta transcription de l'énoncé ? "  était donc justifiée. Avec le vrai énoncé, il convient effectivement d'utiliser l'identité de polarisation.

Ne t'amuse pas à bricoler tes énoncés. Donne nous toujours le vrai énoncé.

Ah désolé je pensais pas que cette petite phrase du début avait une importance

Du coup comment j'utilise cette identité sachant que la forme bilinéaire associé a la forme quadratique c'est b_q(x,y)=

La première question te demande de montrer que si n'est pas nulle, alors la forme quadratique associée n'est pas nulle ( c.-à-d. qu'il existe tel que ).
Autrement dit, il s'agit de montrer (proposition contraposée) que si est nulle, alors est nulle.

Ah ok je vois donc
2b(x,y)=0(x+y)-0(x)-0(y)=0
Donc b(x,y)=0 et donc b=0


Et c'est tout ?

Il manque quelques quantificateurs ...
Fais attention à la rédaction.

Je reprends Supposons que e1 , b(e1,e1)=q(e1)=0 et montrons que b=0


D.après l.identité de polarisation
q(x+y)-q(x)-q(y)=2b(x,y)
0(x+y)-0(x)-0(y)=2b(x,y)
b(x,y)=0
Donc b=0

Donc on a montré l'existence d'un vecteur e1 appartenant à E si b est non nulle


Esce bon? Où il manque des choses?


Sinon si c.est bon je passe à la dernière question

2) le 2) en fait je sais que je dois dire  ke1 est un sous espace vectoriel de E de dimension finir et b|_Ke1xKe1 est non dégénéré
Donc d'après un certain théorème E=Ke1 ⊕ Orthogonal(Ke1)


Sauf que j'arrive pas à justifier les trucs que je viens de dire,il me manque des arguments et de bonnes preuves pour faire cette question correctement

ok je vois mieux !!

effectivement avec le bon énoncé il faut on peut utiliser l'identité de polarisation ...

car on peut très bien écrire

2b(x, y) = b(x + y, x + y) - b(x, x) - b(y, y) = 0 - 0 - 0 = 0 ...

soit donc u un vecteur tel que b(u, u) = n 0

pour tout vecteur v de E posons w = v - [b(u, v)/n] u

que vaut b(u, w) ?

conclusion ?

Après je sais pas b(u,-u) esceque c'est égale à b(u,u)-b(u,u)=0?

tu n'as pas calculé ce que j'ai demandé ...

que de fautes de lecture ...

Tu as trouvé un élément tel que .
Je te conseille de considérer le noyau de la forme linéaire . Que peux-tu en dire ?

Et pourquoi on fait posons w=..
Moi j'arrive pas à calculer b(u,w) car l'expression de w est un peu dur à calculer

Le noyau est de dimension n-1 car b(e1,x) est surjective (rg b=1)

Bon, ça c'est correct. Mais pourquoi cette forme linéaire est-elle surjective (ce qui revient à dire qu'elle n'est pas nulle ) ?
Et vois tu comment ça peut t'amener à répondre à la question 2 ?

Toute forme linéaire non nulle est surjective
Non je vois pas du tout cas ker Ke1 n'as aucun lien avec orthogonal de Ke1

Ton "ker Ke1" n'a aucun sens. Applique-toi à ce que ce que tu écris ait bien du sens, et un sens que tu comprends.

Quel est le rapport entre l'orthogonal de et la forme linéaire ?

Je sais que orthogonal Ke1={xE tel que e1E,b(e1,x)=0}

Et donc ?