Bonsoir,

Je n'arrive pas à comprendre le corrigé de l'exercice suivant :

Soit f une fonction définie et continue sur l'intervalle fermé [0 ; +∞[ et dérivable sur l'intervalle ouvert ]0 ; +∞[. On suppose que lim (x→+∞) f(x) = f(0).

(a) On définit la fonction g sur [0 ; 1] par :

g(t) = f(− ln(t)) si t ∈ ]0 ; 1] ,
f(0) si t = 0 .

Montrer que la fonction g est continue sur [0 ; 1], dérivable sur ]0 ; 1[.

Correction :

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0 ; +∞[ et on a ln (]0 ; 1])=] − ∞ ; 0]. La fonction h : t → − ln(t) est donc continue sur sur ]0 ; 1], dérivable sur ]0 ; 1[
et on a : h(]0 ; 1])= [0 ; +∞[. Par composition de fonctions continues et dérivables, on en
déduit que g = f ◦ h est continue sur ]0 ; 1] et dérivable sur ]0 ; 1[.
Il reste à montrer que g est continue en 0. Pour cela on doit vérifier que lim (t→0)g(t) = g(0).
On a lim (t→0) h(t) = +∞ et lim (x→0) f(x) = f(0). Par composition de limites, on en déduit que lim (t→0) g(t) = lim (t→0) f(h(t)) = f(0) = g(0).

Je ne comprends pas du tout la partie en rouge, pas la composition des limites...

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci beaucoup d'avance.