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montrer inegalite

Posté par
shiruhige 22-09-17 à 10:29

bonjour
voila enonce
abc triangle de cote x,y,z et x+y+z=1
montrer que 1/3<ab+ac+bc<1/2
mon raisonnement
x+y+z=1 donc x²+xy+xz=x
                                          xy+xz=x-x²=-(x-(1/2))²+(1/4)
j'ai conclue 0<x<1 et 0<y<1  et 0<z<1 (cote triangle x+y+z=1)
j'encadre et je trouve 0<-(x-(1/2))²+(1/4)<1/4
                                        donc 0< xy+xz<1/4
de la meme facon pour y et z je trouve
0< xy+yz<1/4
0< xz+xz<1/4
donc                            0<2(xy+xz+yz)<3/4
0<(xy+xz+yz)<3/2  mais 3/2>1/2
mais rien
comment on fait pour arriver a  1/3<(xy+xz+yz)<1/2
merci

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 10:46

Bonjour
faudrait savoir, on parle de a,b,c ou de x,y,z ?

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 10:55

sinon, tu peux écrire (x+y+z)² = 1² = x²+y²+z² +2(xy+yz+zx).... ça te donne une des deux inégalités

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 11:13

ta première inégalité ne serait pas à l'envers ?

par exemple avec x = y = 0.3, z = 0.4, on arrive à xy + yz + zx = 0.33 < 1/3...
(et on la montre bien dans l'autre sens avec l'inégalité de Cauchy_Schwarz)

Posté par
Razesre : montrer inegalite 22-09-17 à 12:28

shiruhige @ 22-09-2017 à 10:29


donc                            0<2(xy+xz+yz)<3/4
0<(xy+xz+yz)<3/2  mais 3/2>1/2
mais rien
comment on fait pour arriver a  1/3<(xy+xz+yz)<1/2
merci


Ce n'est pas 3/2 mais 3/8, continue

Posté par
Razesre : montrer inegalite 22-09-17 à 12:35


Tu utilise < à tort à  la place de \leqslant

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 12:38

faudrait surtout venir confirmer l'énoncé, parce que là, il est manifestement faux.

Posté par
Razesre : montrer inegalite 22-09-17 à 12:57

Bonjour lafol ,

lafol @ 22-09-2017 à 11:13

ta première inégalité ne serait pas à l'envers ?

par exemple avec x = y = 0.3, z = 0.4, on arrive à xy + yz + zx = 0.33 < 1/3...
(et on la montre bien dans l'autre sens avec l'inégalité de Cauchy_Schwarz)
Ttu a raison, énoncé faux

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 22-09-17 à 14:20

desole parceque c'est 1/4<ab+ac+bc<1/2

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 14:23

celle de droite : cf montrer inegalite

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 22-09-17 à 14:29

pour l'autre, utilise l'inégalité triangulaire dans ton triangle : x < y+z etc (avec inégalités larges), du coup x² < xy + xz, etc, et réutilise l'identité remarquable pour exprimer la somme des carrés en fonction de la somme des produits deux à deux

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 22-09-17 à 15:02

me reste celle de gauchje
j'ai reussis celle de droite
en faisant
(x+y+z)²=1=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)
donc (xy+xz+yz)=(1-x²-y²-z²)/2
en encadrant  (1-x²-y²-z²)/2  sachant que 0<x<1 et  0<y<1 et  0<z<1
j'obtient xy+xz+yz<1/2

Posté par
jandri Correcteurre : montrer inegalite 22-09-17 à 18:44

On peut faire mieux en montrant que xy+yz+zx\leq \dfrac13.

Posté par
Razesre : montrer inegalite 22-09-17 à 18:47

jandri @ 22-09-2017 à 18:44

On peut faire mieux en montrant que xy+yz+zx\leq \dfrac13.
C'est ce qu'a proposé lafol à  22-09-17 à 11:13.

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 23-09-17 à 15:48

Svp le cote gauche

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 23-09-17 à 16:16

lafol @ 22-09-2017 à 14:29

pour l'autre, utilise l'inégalité triangulaire dans ton triangle : x < y+z etc (avec inégalités larges), du coup x² < xy + xz, etc, et réutilise l'identité remarquable pour exprimer la somme des carrés en fonction de la somme des produits deux à deux

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 24-09-17 à 19:22

jandri @ 22-09-2017 à 18:44

On peut faire mieux en montrant que xy+yz+zx\leq \dfrac13.

comment peu t'on faire mieux
merci

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 24-09-17 à 19:33

avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, comme déjà dit ....

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 24-09-17 à 20:05

je vais tenter ma chance

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 24-09-17 à 21:24

rien a faire, j'y arrive pas

Posté par
lafol Moderateurre : montrer inegalite 24-09-17 à 21:59

X=(x,y,z), A = (1,1,1)

X.A = x+y+z = 1 d'après l'énoncé

or |X.A|\leq ||X||\times||A|| (Cauchy-Schwarz)

donc 1\leq \sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}

autrement dit, en mettant au carré : x^2+y^2+z^2 \geq \dfrac 13, donc -(x^2+y^2+z^2) \leq \dfrac{-1}{3} en multipliant par (-1)

or 2(xy + yz + zx) = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2) = 1 -(x^2+y^2+z^2), d'où le résultat

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 24-09-17 à 22:10

peut'on le faire sans ce theoreme

Posté par
Razesre : montrer inegalite 25-09-17 à 11:21

Bonjour,

Voici une démonstration avec les identité remarquables:
\\ (x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy + yz + zx)=1\Rightarrow 2(xy + yz + zx)=1-(x^2+y^2+z^2)     (1)

(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geqslant xy +yz +zx     (2)

(1) et (2)     \Rightarrow 1-2(xy + yz + zx)\geqslant xy +yz +zx\Leftrightarrow xy +yz +zx\leqslant \frac{1}{3}

Posté par
Razesre : montrer inegalite 25-09-17 à 11:35

Sinon avec les multiplicateurs de Lagrange tu trouveras la même chose : x=y=z=\dfrac13,

ce qui donnera:  Max(xy +yz +zx)=\dfrac{1}{3}

Posté par
Razesre : montrer inegalite 25-09-17 à 15:30

Pour Min(xy +yz +zx), c'est plus compliqué; nous avons des contraintes telles que:  x\geqslant y\geqslant z> 0;y+z \geqslant x;  Car c'est un triangle, en plus de celle de l'énoncé: x+y+z=1

On obtient un minimum dans le cas d'un triangle isocèle: y=z; On trouvera un minimum non atteint y=z=\dfrac{1}{2}, x\simeq 0, Donc: xy +yz +zx>\dfrac{1}{4}

Posté par
Razesre : montrer inegalite 25-09-17 à 15:32

y=z=\dfrac{1}{2}-\epsilon ; x=2\epsilon

Posté par
Razesre : montrer inegalite 25-09-17 à 15:51

Pour calculer le Max(xy +yz +zx), tu peux poser: f(x,y,z)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\left ( x-z \right )^{2}-\frac{3}{4}\left ( y-\frac{1}{3} \right )
On voit facilement la valeur du maximum et pour quelle valeur on peut l'obtenir.

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 26-09-17 à 01:29

c'est  vrai que c'est pas facile

Posté par
Razesre : montrer inegalite 26-09-17 à 01:39

C'est quoi qui n'est pas facile?

Posté par
shiruhigere : montrer inegalite 26-09-17 à 13:01

les multiplicateurs de Lagrange  et l'inégalité de Cauchy-Schwarz

Posté par
Razesre : montrer inegalite 26-09-17 à 15:09

shiruhige @ 26-09-2017 à 13:01

les multiplicateurs de Lagrange  et l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Ça c'est un autre débat. Tu quand même deux autres méthodes  pour démontrer que   xy +yz +zx\leqslant \dfrac{1}{3}; avec les identités remarquables puis une autre avec une simple factorisation.

Pour ce qui est de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est très simple. Pour ton information auparavant c'était au programme de seconde, dans d'autres pays elle est au programme de seconde ou de première. Tu es en maths Sup alors fais qlq efforts.

Pour ce qui est des multiplicateurs de Lagrange, sup spé je ne sais plus.


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