inégalité à termes positifs
qu'on peut multiplier par l'expression conjuguée : (n+1) + (n)

...

Merci beaucoup.

Je trouve donc que 1+(n)/(n+1)2(n+1)/(n)+1

Or (n)/(n+1)1
et (n+1)/(n)1 d'où on peut conclure.

C'est correct ?

Et j'ai une autre inégalité qui m'embête.
Je dois montrer qu'une suite est croissante, j'ai donc fait U_n+1-U_n et je trouve :

1/(n+1)-2((n+2)-(n+1))
Comment montrer que c'est 0 ?
Si je mets au même dénominateur, il faut alors que je montre que 2(-n-1+(n²+3n+2))1.
Comment ? Ou y a-t-il plus simple ?

utilise la question précédente en encadrant

-2((n+2)-(n+1))

puis ajoute (n+1)

...

oui mais avant on avait pas (n+2)-(n+1) mais (n+1)-(n)...comment m'aider alors de la question précédente ?

cette relation est vraie pour tout N, elle l'est aussi pour N = n+1

...

Tout à fait ! Je comprends mais...on a quand même 1/(n+1) et non 1/(n+2).
On ne peut donc pas appliquer l'inégalité de la question précédente au rang n pour un membre et au rang n+1 pour l'autre...?

au rang n, l'inégalité s'écrit :

1/(n+1) 2((n+1)-(n) 1/(n).


au rang n+1, l'inégalité s'écrit :

1/(n+2) 2((n+2)-(n+1) 1/(n+1).

...

Oui d'accord mais nous on veut étudier le signe de 1/(n+1)-2((n+2)-(n+1))

On a donc 1/(n+1) qui est dans la question précédente le rang n, et le reste qui est de rang "n+1". Comment faire alors ?
En tous les cas, merci pour votre aide.

au rang n+1, l'inégalité s'écrit :

1/(n+2) 2((n+2)-(n+1) 1/(n+1).

on en déduit que :

-1/(n+1) -2((n+2)-(n+1) -1/(n+2)

à cette inégalité, on ajoute  1/(n+1)

...

Merci beaucoup ! C'est ce que je pensais mais je savais pas si on avait le droit de l'écrire comme ça, sans justifier.
Pour finir, au lieu d'ajouter 1/(n+1) j'ai multiplier par -1 puis soustrais les deux premiers membres de l'inégalités, ce qui revient au même.
Encore merci !