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Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques

Posté par
Rexe 26-09-20 à 13:47

bonjour j'ai une question que j'ai pas réussi a démontrer
montrer l'équivalence suivante
\sum_{k =1 }^{n}{U^{3}_{_{k}}} = \left(\sum_{k =1 }^{n}{U^{}_{_{k}} \right)^{2} \Leftrightarrow U_{n} =n
\Leftrightarrow U_{n} =n
                              

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 13:53

salut

un sens est évident ...

pour l'autre sens le faire par récurrence ...

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 16:18

on peut montrer \Leftarrow par récurrence c'est sur
mais comment montrer que aucune autre fonction n'a cette propriété \Rightarrow

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 16:21

non <= est élémentaire (par récurrence si tu veux ...

mais je parlais de => à faire par récurrence ...

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 16:22

avec la bonne hypothèse de récurrence !!

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 16:22

et je pense qu'il manque un quantificateur ...

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 17:27

c'est vrai , j'ai oublié le quantificateur universelle dans les deux coté
la bonne proposition sera t elle P(n) "\sum_{k=1}^{n}{U_{k}^{3}} = \left(\sum_{k=1}^{n}{U_{k}} \right)^{2} \Rightarrow pour tout n de N* U_{n} = n

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 17:35

non ce n'est pas bon :

dans le membre de gauche il n'apparait que les entiers de 1 à n ...

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 17:43

alors je pense que je doit ajouter le quantificateur , mais comment donc créer une proposition dépendante de n  ?

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 17:53

\forall n \in \N        :          \sum_{k = 1}^n u_k^3 = \left( \sum_1^n u_k \right)^2 \iff \left( \forall k \in [[1, n]]  :  u_k = k \right)

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:02

je pense donc qu'il y a une faute dans l'exercice car ils ont écrit  pour tout n de N* dans l'autre coté de l'équivalence  , ils ont écrit comme phrase seulement
dans tous les cas , merci bien je vais essayer de résoudre

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:25

peut-être serait-il bien de nous recopier exactement l'énoncé alors ...

parce qu'on peut aussi écrire :

carpediem @ 26-09-2020 à 17:53

\left[\forall n \in \N  :  \sum_{k = 1}^n u_k^3 = \left( \sum_1^n u_k \right)^2 \right] \iff \left( {\blue  \forall n \in \N^*  :}   u_n = n \right)


avec éventuellement pas ce qui est en bleu ...

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:26

J'ai rien trouvé , je peux avoir un indice

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:29

j'ai donné l'hypothèse de récurrence à 17h 53 (sans le quel que soit n ...

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:32

L'énoncé est
soit (U_{n} une suite à valeurs réel dans R^{+*} . Montrer que nN* , \sum_{k=1}^{n}{U_{k}^{3}} = \left(\sum_{k=1}^{n}{U_{k}} \right)^{2} si , et seulement si ,nN* , Un =n

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:33

oui j'ai j'ai pas vu ton dernier message,  pardon

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:36

l'hypothèse doit être donc ce que tu as écrit avec le bleu n'est ce pas ?
et le problème reste encore dans l'étape d'hérédité j'ai pas trouvé comment passer à n+1

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 18:54

ha ben enfin !!

c'est quand même déprimant d ene pas avoir un énoncé exact et complet dès le premier msg ...

carpediem @ 26-09-2020 à 18:29

j'ai donné l'hypothèse de récurrence à 17h 53 (sans le quel que soit n ...

Posté par
etniopalre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 26-09-20 à 19:42

Soit u :   * +* telle que pour tout n   * on ait \sum_{k=1}^{n}{u_{k}^{3}} = \left(\sum_{k=1}^{n}{u_{k}} \right)^{2} .
Il s'agit de montrer que  u est la suite k k .

   Je pose A := { n * │ k ]0 , n] uk = k }


      ..Pour" l'initiation " :
     Il est facile de voir que 1 et 2 sont dans A .  
     ..Pour" l'hérédité" . Soit n un entier 2 tel que n A .
Il faut alors voir si
   1 + 23  + .... + n3  + (n + 13
et
   [1 + 2  + .... + n   + (n + 1) ]²
sont égaux .

On peut aussi faire une rédaction en utilisant une propriété P portant sur entiers > 0 .

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 27-09-20 à 10:29

merci bien je pense que j'ai réussi , j'ai utiliser solution équation 2-ème degré
pour trouver Un+1 .Ce qui m'a vraiment troubler au début était
dans l'autre coté de l'équivalence et pardon carpediem pour l'énoncé je vais recopier judicieusement la prochaine fois .

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 27-09-20 à 11:07

(1 +2 + ... + n + u_{n + 1})^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + 2 (1 + 2 + ... + n) u_{n + 1} + u_{n + 1}^2 = 1^3 + 2^3 + ... n^3 + n(n + 1)u_{n + 1} + u_{n + 1}^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + u_{n + 1}^3

donc u_{n + 1} = 0 $ ou $ u_{n + 1}^2 - u_{n + 1} - n(n + 1) = 0 \iff (u_{n + 1} + n)[u_{n + 1} - (n + 1)] = 0     car 1 = n + 1 - n

Posté par
Rexere : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 27-09-20 à 19:16

merci bien

Posté par
carpediemre : Montrer l'équivalence de la somme des entiers cubiques 27-09-20 à 19:58

de rien


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