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Montrer l'existence d'une constante

Posté par
Amarouche1 05-12-20 à 20:38

Bonjour,
soit (Un)n>0 une suite reelle. On pose pour tout n de N* :Sn=\frac{U1 +U2 + ...+ Un}{n}
1) On suppose que lim Un=0. Soient \varepsilon >0 et n0\in N tel que pour tout n\geq n0 on a \mid Un\mid \leq \varepsilon
a) Montrer qu'il existe une constante N telle que pour tout n\geqn0 on a :\mid Sn\mid \leq \frac{M(n0 - 1)}{n}+\varepsilon
b) en deduire que lim Sn=0
je bloque totalemet sur la question 1 , en effet la recurrence ne sert a rien car il faut montrer l'existence et je sais pas d'ou commencer

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 05-12-20 à 20:49

salut

un certain nombre de fautes de lettres ...

si la limite de la suite est nulle alors par définition pour tout entier e > 0 il existe un entier N tel que : n > N => |u_n| < e

pour n > N on alors : S_n = \dfrac 1 n \sum_1^N u_k + \dfrac 1 n \sum_{N + 1}^n u_k

la première somme est finie ; ne peux-tu pas la majorer ?

pour la deuxième somme utilise la définition de la limite pour majorer aussi ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 07-12-20 à 13:47

Bonjour,
pour la premiere somme (n<N)tous les termes soient inferieurs ou superieur a 0 selon la monotonie ?

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 07-12-20 à 19:53

je ne comprends à ce que tu raconte ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 08-12-20 à 10:13

Vous avez dit que la premère somme est finie

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 08-12-20 à 20:20

on te donne la réponse donc réfléchis ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 13:58

j'ai beacoup essaye, j'ai meme demander au prof et il dit qu'il n'y pas regle precise pour magorer cette somme(la premiere)

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 14:44

pour la deuxieme somme j'obtiens en utilisant la definition de la limite : \frac{1}{n}\sum_{N+1}^{n}{\mid Uk\mid} \leq \frac{(n-N)}{n}\varepsilon

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 15:23

toute ensemble fini de nombres possède un plus grand élément ... donc est majoré ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 16:34

si on pose le majorant M alors tous les termes ( U1 , U2 .....UN ) seront inferieurs a M , et alors on encadre leur somme : \frac{1}{n}\sum_{1}^{N}{Uk}\leq \frac{M\times N}{n} ??

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 17:07

tu en doutes ?

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 17:12

voila ce que j'obtiens donc  :
- On a pour tout n \in[1;n0[ : \frac{1}{n}\sum_{1}^{n0-1}{Uk}\leq \frac{(n0-1)M}{n}
- On a pour tout n\geqn0 : \frac{1}{n}\sum_{n0}^{n}{Uk}\leq \frac{\varepsilon (n0-1)}{n}+\varepsilon


CC: \frac{1}{n}\sum_{1}^{n0-1}{Uk}+\frac{1}{n}\sum_{n0}^{n}{Uk} \leq \frac{(M+\epsilon)(n0-1) }{n}+\epsilon
mais est ce que  la valeur  M+\epsilon est une constante ?

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 17:38

ok pour la première majoration mais pas pour la deuxième ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 17:53

Alors est ce que \frac{1}{n}\sum_{n0}^{n}{}Uk\leq \epsilon ?? mais je m'en doute ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 18:21

quand meme j'ai une faute a corriger pour la 2eme somme : \frac{1}{n}\sum_{n0}^{n}{Uk}\leq -\frac{\varepsilon (n0-1)}{n}+\varepsilon

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 19:03

faux !!

combien cette somme contient-elle de termes ?

par quoi peut-on majorer la valeur absolue de ces termes ?

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 09-12-20 à 19:16

- il y a (n-n0+1) terme dans cette somme je pense

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 10-12-20 à 16:18

Svp  aidez moi je suis vraiment bolqué

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 10-12-20 à 18:28

carpediem @ 05-12-2020 à 20:49

si la limite de la suite est nulle alors par définition pour tout entier e > 0 il existe un entier N tel que : n > N => |u_n| < e

pour n > N on alors : S_n = \dfrac 1 n \sum_1^N u_k + \dfrac 1 n \sum_{N + 1}^n u_k


la première somme contient N termes et on peut majorer ces termes (en valeur absolue) par leur maximum ou toute valeur supérieure M

la première somme est donc majorer par MN/n

la deuxième somme est constituée de n - (N + 1) + 1 = n - N termes touts majorés en valeur absolue par e

la deuxième somme est donc majorée par (n - N)e/n < e

...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 14:39

Merci infiniment carpediem j'ai tout compris.
1) b-En deduire lim Sn=0
mais en appliquant theoreme de gendarmes, je calcule lim\frac{M(n0 - 1)}{n}+\varepsilon je trouve \varepsilon

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 15:55

c'est vrai pour tout epsilon aussi petit soit-il !!

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 16:30

Ca me parait logique .
Alors la question 1 ( on a suppose limUn=0 puis on a deduit lim Sn=0 ), ce qui nous guide surement vers 2) On suppose que limUn=l . Montrer que lim Sn=l
Je pense qu'on peut utiliser la meme methode en majorant deux sommes non ?

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 17:32

si u_n --> L considère la suite v_n = u_n - L ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 17:32

carpediem @ 10-12-2020 à 18:28

carpediem @ 05-12-2020 à 20:49

si la limite de la suite est nulle alors par définition pour tout entier e > 0 il existe un entier N tel que : n > N => |u_n| < e

pour n > N on alors : S_n = \dfrac 1 n \sum_1^N u_k + \dfrac 1 n \sum_{N + 1}^n u_k


la première somme contient N termes et on peut majorer ces termes (en valeur absolue) par leur maximum ou toute valeur supérieure M

la première somme est donc majorer par MN/n

la deuxième somme est constituée de n - (N + 1) + 1 = n - N termes touts majorés en valeur absolue par e

la deuxième somme est donc majorée par (n - N)e/n < e

...

De plus j'ai une petite question, tu as dit clairement qu'on peut majorer les termes de la premiere somme en valeur absolue par M, mais comment s'assurer que  cette somme est positive pour l'encadrer avec la valeur absolue

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 17:40

travailler avec la valeur absolue des termes c'est travailler avec une suite à termes positifs

il suffit de poser v_n = |u_n|

de toute façon quel que soit le signe des réels tout ensemble fini possède un maximum et s'il est négatif alors il est inférieur à tout nombre positif ...

donc à toi de mettre es valeurs absolues là où il le faut ... pour appliquer l'inégalité triangulaire)

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 18:31

pour tout n\geqN : -M<Un\leqM je pense que cette condition est necessaire pour continuer avec la valeur absolue \mid Un\mid \leq M et arriver enfin a : \dfrac 1 n \sum_1^N u_k\leqMN/n.
Alors est ce qu'on a Un>-M

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 18:34

pardon : *arriver en fin a \mid \dfrac 1 n \sum_1^N u_k\mid \leq MN/n*

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 18:36

et pour tout n entre 1 et N et non superieur a N je m'excuse

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 19:27

Svp c'est la derniere chose que je n'arrive pas a comprendre ...
Merci vraiment pour tes bonnes explications carpedieme et pour votre patience ...

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 19:53

tout a déjà été dit ... à toi de faire la synthèse !!! et  mettre les valeurs absolues là où il faut et quand il faut ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 20:34

D'accord
voila la derniere question dans l'exercice et dernier cas 3) On suppose lim Un=+\infty et montrer que lim Sn=+\infty
Soit A>0 on a pour tout n>n0 :   Un>A (du fait que lim Un=+infini)
et pour tout n entre 1 et n0 : il existe un minimum m tel que : Un>m
Alors : \frac{1}{n}\sum_{1}^{n0-1}{Uk}> \frac{m\times n0}{n}
et \frac{1}{n}\sum_{n0}^{n}{Uk}> \frac{(n-n0)A}{n}
Alors Sn>\frac{(n-n0)A}{n} + \frac{m\times n0}{n}
ici lorsque je fais entrer la limite dans l'expression je n'obtiens pas +infini ...

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 20:53

ledeuxième terme tend vers 0toujours ...

vers quoi tend (n - n0)/n

et à nouveau c'est : pour tout A > 0 !!!

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 21:23

(n-n0)/n tend vers 1

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 21:24

et donc toute l'expression tend vers A

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 21:47

est en tout cas supérieur à A/2 pour tout A (car (n - n_0)/n tend vers 1 donc est supérieur à 1/2 à partir d'un certain rang) ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 16-12-20 à 21:54

On aboutit maintenant a : lim Sn > A  > A/2 > 1/2  ... mais ca ne demontre pas que  limSn=+infini

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 17-12-20 à 08:25

on se fout de cette minoration par 1/2 ...

carpediem @ 16-12-2020 à 20:53

et à nouveau c'est : pour tout A > 0 !!!

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 17-12-20 à 14:07

d'accord, mais si lim Sn > A alors c'est suffsante pour avoir lim Sn=+infini,
il fait d'abord avoir Sn>Vn avec lim Vn=+infini ...

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 17-12-20 à 14:08

Corrige* : d'accord, mais si lim Sn > A alors c'est pas suffsante pour avoir lim Sn=+infini,
il faut d'abord avoir Sn>Vn avec lim Vn=+infini ...

Posté par
carpediemre : Montrer l'existence d'une constante 17-12-20 à 16:03

si pour tout A S_n > A/2  à partir d'un certain rang N alors il est évident que S_n --> +oo

Posté par
Amarouche1re : Montrer l'existence d'une constante 17-12-20 à 19:05

Je suis d'accord avec vous

carpediem @ 17-12-2020 à 16:03

si pour tout A S_n > A/2  à partir d'un certain rang N alors il est évident que S_n --> +oo
carpediem @ 17-12-2020 à 16:03

si pour tout A S_n > A/2  à partir d'un certain rang N alors il est évident que S_n --> +oo

Mais en effet on a aboutit a :Sn>\frac{(n-n0)A}{n} + \frac{m\times n0}{n}
apres j'ai fait entrer la limite dans les deux cotes et j'ai obtenu :lim Sn> A > A/2
ici je comprend tout, mais comment deduire que Sn> A/2 ?!


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