Tu poses x := 2^1/2 + 2^1/3 .
Tu as  2 =( x -  2^1/2)
Tu développes et tu devrais voir quelque chose !

2 =( x -  2^1/2) ³

Bonjour !
Pourquoi calculer des cubes quand on peut faire le même avec des carrés ?



On suppose rationnel et on regarde ...

Le principe étant le suivant (similaire aux complexes) :
si i est un irrationnel et a,b deux rationnels, on a :

Bonjour

J'ai une suggestion qui me parait plus simple. Si était rationnel, alors le serait aussi. Dans ce cas il existerait des entiers premiers entre eux tels que et on arrive à une impossibilité, comme pour .

Bonjour Camélia,

Sauf qu'ici il s'agit de montrer l'irrationalité de , et non de .

Oh! Avec cette drôle d'écriture, j'avais zappé la première racine.

Salut,

comme le demandeur a eu des réponses je me permets une réponse plus "perchée".

En terme d'extension de corps, on peut regarder le degré de l'extension [2^1/3,2^1/2] sur .
Et en appliquant le critère d'Eisenstein aux polynômes X²-2 et X³-2, on prouve qu'ils sont irréductibles sur (et donc à l'aide de la formule de multiplicativité des degrés,  [2^1/3,2^1/2] est de degré 6 sur mais ça ne nous intéresse pas ici). A l'aide de la théorie de Galois on peut montrer qu'un élément primitif de [2^1/3,2^1/2] est 2^1/2+2^1/3 (plus généralement cela est vra;i pour n'importe quel a et b il me semble, pourvut que l'un des deux ne s'exprime pas comme combinaison de l'autre. Pour le prouver on regarde les k-homomorphisme qui envoient une racine sur une autre). Donc en particulier 2^1/2+2^1/3 est irrationnel.

@etniopal : désolé de t'avoir contredit, c'est toi qui a raison.

Pour prolonger l'exo :
Soient n et p  des entiers vérifiant p > 0 , n > 1 .
2^1/n + 2^1/(n+p) est-il rationnel ?

Salut etniopal,

en appliquant le même raisonnement que j'ai fait, la seul partie difficile est de prouver que un élément primitif de [2^1/n,2^1/n+p]  est 2^1/n+2^1/n+p.

C'est un exercice pas évident mais du coup la réponse est non, la somme est irrationnel.

"Soit K un corps, a et b des éléments algébriques sur K.  Alors il existe r t.q a+rb soit un élément primitif de L=K[a,b] sur K"

L'idée c'est que les K-homomorphismes _i sont en nombre fini  (et ils sont distinct!) et on le prouve par l'absurde en regardant les images des _i de a+rb. Autrement dit on suppose que r, i,j , ij/ _i(a+rb)=_j(a+rb).
Or comme r peut prendre une infinité de valeur, alors que les couples (i,j) sont en nombres fini; rs et ij tel que:

_i(a+rb)=_j(a+rb)
_i(a+sb)=_j(a+sb)

et par différence et en simplifiant par (r-s) comme _i homomorphisme on obtient _i(b)=_j(b) et donc _i(a)=_j(a) donc _i=_j ce qui est une contradiction.

la somme est donc primitif avec un r qu'on peut dégager SI LE CORPS EST .