Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un vecteur

Posté par
Lolrien 20-09-19 à 17:38

Bonjour,

Cela va faire une bonne demi-heure que je réfléchis à l'exercice, mais je n'arrive pas à dégager quelques choses de concluant.

Voici l'énoncé et les questions:
[i]Soit E, un espace vectoriel de dimension finie, et soit H un hyperplan de E.

1. Soit x_{_{0}} \in E un vecteur non nul tel que x_{_{0}} n'appartiennent pas à H. Montrer que : E = Vect(x_{0}) \oplus H

2. En déduire que tout x \in E s'écrit de manière unique x = \lambda x_{0} + h, où \lambda \in K   et   h \in H

3. En déduire une forme linéaire de \varphi sur E telle que H = ker \varphi


Donc voilà ce que pour l'instant j'ai réussi à faire:
1.  E est un espace vectoriel de dimension finie, donc dim E = n
H est un hyperplan de E, donc dim H = n - 1
On veut montrer que E = Vect(x_{0}) \oplus H:

Soit, x \in E, alors : \begin{cases} & x \in Vect(x_{_{0}}) \\ & x \in H \end{cases}

Comme x \in Vect(x_{_{0}}),  alors   x = \lambda x_{0}, \lambda \in R  et  x_{0}   n'appartient pas à H (selon l'énoncé).


Après ça, je ne sais pas du tout quoi écrire, car je ne vois pas comment montrer la somme directe. Vu que c'est une somme directe d'un espace vectoriel et d'un vecteur, est ce que la propriété suivante doit être vérifiée :  x_{0} ∩ H = {0} ?? (Cela me parait impossible en tout cas)

2. Par la définition de la somme directe, et comme H est de dim n - 1, alors on peut écrire x sous la forme unique de x = \lambda x_{0} + h, où \lambda \in K   et   h \in H.
Je ne pense pas que la justification suffit, mais je ne vois pas quoi ajouter.

3. Je ne vois pas du tout


Voilà, merci d'avance, j'aimerai bien réussir à comprendre cette exercice, car je trouve qu'il présente pas mal de concepts sur les espaces vectoriels, et ça me permettrait d'enfin bien comprendre comment les manier, car ça reste encore flou.

Posté par
jsvdbre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:45

Bonjour Lolrien

1. Si H est un sev de E et si x_0 \notin H, alors \textbf{vect}(x_0) n'est pas un sous-espace de H, par conséquent \textbf{vect}(x_0)\cap H = \{0\}

Posté par
jsvdbre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:46

2. Quasiment rien à dire sinon ressortir la propriété d'une somme directe.

Posté par
jsvdbre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:48

3. Fais au plus simple : \varphi est nulle sur H et \varphi(x_0) = 1. Je te laisse vérifier que ça correspond bien au problème posé.

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:48

Bonjour

ce n'est pas vrai de supposer que si x appartient à E, alors il appartient à vect(x_0)

En revanche, tu peux exhiber une base de E qui comporte x_0, puisque la famille (x_0) est libre -> complétion de base

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:56

Bonjour,

Merci à vous deux pour vos réponses.

Concernant ta réponse jsvdb:
1.Ouais je vois bien le fait que l'intersection est 0 maintenant. Mais avec ce que j'ai mis avant, et ça, cela suffit de montrer que E = Vect(x_{0}) \oplus H ??

2. D'accord parfait alors

3. Pourquoi ? Je ne vois pas très bien là


Concernant ta réponse Zormuche:
Ah oui c'est vrai mais alors, tout mon raisonnement tombe à l'eau, et là je ne comprends plus rien. Comment exhiber une base de E qui comporte x_0 ? Comment on sait que la famille (x_0) est libre cela n'est jamais mentionné ?

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 17:56

Rectification:

3. Pourquoi \varphi(x_0) = 1 ? Je ne vois pas très bien là

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:06

une famille comportant un seul vecteur non nul est forcément libre, puisque la seule façon d'obtenir k*x_0 = 0 est d'avoir k=0

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:07

plutôt : kx_0=0_E pour être rigoureux

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:12

et pour la 3ème question, un indice : projecteur

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:12

Ah oui je ne le voyais de pas de cette manière, ça semble logique.

Par contre, je ne vois pas du tout comment montrer la question 1 maintenant

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:14

pour la question 1, en fait ça aurait été mieux de le faire dans ce sens : supposer B_H une base de H, et la compléter en une base de E

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:17

Pour le projecteur est ce qu'on a :
La projection sur H parallèlement à x_0 est alors l'application :

p : E = H \oplus Vect(x_{0}) \rightarrow E \\ \\      x = \lambda x_{0} + h \rightarrow h

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:19

parallèlement à \operatorname{Vect}(x_0)

mais là, ça ne marche pas, tu vois bien que \ker(\phi)=\operatorname{Vect}(x_0)

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:20

1. Donc, soit B = (e_{1},...,e_{_{n-1}} une base de H, mais je ne vois pas comment dire que je peux la compléter en une base de E. Enfin, je pense qu'à la fin on doit obtenir ça : Soit B2 B2 = (x_{0},e_{1},...,e_{_{n-1}} une base de E.

Mais comment y arriver ?

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:22

3. Les espaces vectoriels c'est tellement flou dans ma tête quand on utilise pas des nombres. Je ne vois pas pourquoi ker(phi) = Vect(x_0)

Ker(phi), c'est bien quand x appartenant à E, on a f(x) = 0 ? Je comprends plus rien

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:25

Rectification :
Ker(phi), c'est bien quand x appartenant à E, on a phi(x) = 0 ?

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:27

tu peux la compléter en une base de E, car c'est une famille libre de E de cardinal n-1. Et avec quoi tu pourrais la compléter, par exemple ?
oui, le noyau, c'est l'ensemble des vecteurs qui annulent l'application

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:30

Tu as proposé
p : E = H \oplus \operatorname{Vect}(x_0) \rightarrow E
\quad x = h+v \mapsto h  avec  v=\lambda x_0, \lambda\in \R

Si on a x\in\operatorname{Vect}(x_0), alors sa partie "h" vaudra 0, donc l'application renverra 0

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 18:37

1. Comme x_0 appartient à E, et Vect(x_0) est libre et que x_0 n'appartient pas à H, on peut sans dout compléter B en une base de E en ajoutant le vecteur x_0 ? On obtiendrait donc: B2 = (x_{0},e_{1},...,e_{n-1})
Mais ça m'a pas l'air bien expliqué là.

3. Ah oui c'est vrai vu comme ça, mais je ne vois vraiment pas à quoi ça peut me servir tout ça

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 19:16

en ajoutant x_0 à la base de H, on obtient une famille de n éléments, libre (car x_0 n'appartient pas à H), donc une base de E par définition
et le fait d'avoir cette base de E prouve que E = H (+) vect(x_0) en mettant bout à bout les éléments des bases

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 20:22

Ah d'accord merci beaucoup alors.

Donc voilà ma réponse finale:
E est un espace vectoriel de dimension finie, donc dim E = n
H est un hyperplan de E, donc dim H = n - 1

On veut montrer que : E = Vect(x_{0}) \oplus H \Leftrightarrow \begin{cases} & Vect(x_0) \bigcap{H} = {0} \\ & dim E = dim H + dim(Vect(x_{0})) \end{cases}

Soit B = (e_{1},...,e_{n-1}) une base de H de n-1 éléments, alors vu que la famille (x_{0}) est libre et n'appartient pas à H, si on ajoute Vect(x_{0}) à cette base B, on obtient une nouvelle base B' = (x_{0}, e_{1},...,e_{n-1}) de n éléments. Ainsi on a bien : dim E = dim H + dim(Vect(x_{0})) = n-1 + 1 = n

De plus, si H est un sous espace vectoriel de E, et que x_{0} n'appartient pas
à H, alors vect(x_{0}) \bigcap{H} = {0}

On a donc bien :  E = Vect(x_{0}) \oplus H

Est-ce que pour la première question cela vous semble bon ?

Posté par
Zormuchere : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 20-09-19 à 20:57

ça manque un peu de rigueur, j'aurais dit : soit B=(e_1,...,e_(n-1)) une base de H, étant donné que B est libre dans E, on peut la compléter en une base de E. on la complète avec la base de Vect(x_0) suivante : B'=(x_0) (et non pas avec vect(x_0)) et étant donné que x_0 n'appartient pas à H, alors B''=(e_1,...,e_(n-1),x_0) est libre et de taille n, c'est donc une base de E

on a mis bout à bout les bases de H et de vect(x_0) pour donner une base de E, alors E = H (+) Vect(x_0)

Posté par
Lolrienre : Montrer la somme directe entre un espace vectoriel et un ve 21-09-19 à 10:34

D'accord merci beaucoup, pour la première question je pense avoir bien compris.

Par contre, concernant la question 3, je ne vois pas du tout. Pourriez vous me donner quelques indications ?r


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !