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montrer q une famille est libre

Posté par
aya4545 16-05-22 à 23:05

Bonsoir
Priere m orienter pour depasser ce blocage
on rappelle que M_2(\R);+ \times )est un anneau unitaire de zero  O=\begin{pmatrix} \\ 0& 0\\ \\ 0& 0 \\ \end{pmatrix} et d unitée I=\begin{pmatrix} \\ 1& 0\\ \\ 0& 1 \\ \end{pmatrix}

Et que  M_2(\R);+ ,. )un espace vectoriel réel
Soit A une matrice dans M_2(\R)vérifiantA^2=-9I
E=\lbrace M(a,b) / (a,b) \in \R^2  \rbrace et M(a,b)=aI+bA  avec  (a,b) \in \R^2
1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de M_2(\R);+ ,. )
2) a- Montrer que   (I,A)  est une base de l'espace vectoriel M_2(\R);+ ,. )et déduire dim E
- Montrer que A est inversible et que  A^{-1} \in E
c - Montrer que la famille (A,A^{-1})
est une base de l'espace vectoriel  M_2(\R);+ ,. )

j ai fait 1)je bloque dans 2)a)
(I,A) est generatrice par definition
je ne peux pas demontrer qu elle est libre et merci

Posté par
larrechre : montrer q une famille est libre 16-05-22 à 23:23

Bonsoir,

On suppose qu'il existe a et b non nuls tels que aI+bA=0   (1)
En multipliant par A on obtient aA-9bI=0     (2)

De (2) tu tires A en fonction de I que tu reportes dans (1). Contradiction.

Posté par
aya4545re : montrer q une famille est libre 16-05-22 à 23:51

merci larrech

pour la suite    dim E =2       A^2=-9I \iff \frac {-1}9 A \times A=I donc Aest inversible  et A^{-1} = \frac {-1}9 A

Posté par
aya4545re : montrer q une famille est libre 16-05-22 à 23:56

A   et  A^{-1}   \in   E   simple

Posté par
aya4545re : montrer q une famille est libre 17-05-22 à 00:00

c) il suffit de  montrer que (A,A^{-1}) est libre (simple)

Posté par
aya4545re : montrer q une famille est libre 17-05-22 à 11:48

bonjour
je m excuse    c est simple de montrer que  (I,A^{-1}) est libre.
  la famille (A,A^{-1}) est liée ((A^{-1}=-\dfrac 19 A)  ne peut etre une base.


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