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Montrer qu'un ensemble est un groupe

Posté par
cercus
13-09-17 à 18:41

Bonsoir, nous travaillons actuellement sur l'algèbre, plus particulièrement sur les groupes. Cependant, je bloque avec un exercice :

Soit E un ensemble non vide ; on note par P(E) l'ensemble des parties de E.

1/ L'ensemble P(E) avec la loi  \ast , définie par A  \ast B := A   B, est-il un groupe ?

Ce que j'ai fais :

J'ai montré la première propriété : Associative ssi (A \ast B) \ast C = A \ast (B \ast C) :

(A \ast B) \ast C = (AB) \ast C = (AB)C = ABC

A \ast (B \ast C) = A \ast (BC) = ABC

-> On a bien (A \ast B) \ast C = A \ast (B \ast C)

Je n'arrive pas a montrer qu'il existe e E tq  \vec{x}  \ast e =  \vec{x}

Posté par
WilliamM007
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 13-09-17 à 18:48

Bonjour.

Pourquoi écrire x avec une flèche ? Et on ne cherche pas des éléments de E mais des éléments de P(E).

Pour l'existence d'un élément neutre, l'ensemble E lui-même semble convenir. En revanche, \empty a-t-il un symétrique ?

Posté par
WilliamM007
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 13-09-17 à 18:48

WilliamM007 @ 13-09-2017 à 18:48

En revanche, \empty a-t-il un symétrique ?

Correction : En revanche, \emptyset a-t-il un symétrique ?

Posté par
jsvdb
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 13-09-17 à 18:50

Bonjour cercus.

Si X est une partie de E, connais-tu un ensemble N tel que X N = N X = X ? et ce quel que soit X dans P(E) ...

Et maintenant, N étant trouvé, il faudrait un opposé X' à toute partie X de E c'est-à-dire X' X = N !

Trouve déjà N puis après tu aviseras.

Posté par
cercus
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 13-09-17 à 18:55

L'ensemble N = {0, 1} ?

Posté par
jsvdb
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 13-09-17 à 20:06

N n'a aucune raison d'avoir une tête particulière.
A priori, E est un ensemble quelconque, et P(E) l'ensemble de ses parties.

WilliamM007 @ 13-09-2017 à 18:48

Pour l'existence d'un élément neutre, l'ensemble E lui-même semble convenir.

Posté par
scoatarin
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 14-09-17 à 06:38

Bonjour,

Et si on faisait la conjecture suivante :

L'ensemble P(E) avec la loi  \ast , définie par A \ast B := A\bigcap{} B, n'est pas un groupe ?

Si c'est le cas, on risque de chercher longtemps à prouver le contraire, non  

Posté par
jsvdb
re : Montrer qu'un ensemble est un groupe 14-09-17 à 08:45

Il n'y a rien à conjecturer : cette loi n'est pas un groupe. Il faut juste vérifier pourquoi !

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