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Niveau Maths sup
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Montrer qu'un ensemble est un sev

Posté par
Zubish
21-01-18 à 21:16

Bonsoir,

Je bloque sur une question qui est pourtant un raisonnement tout simple, le problème est que j'ai l'énoncé et la réponse finale mais pas le raisonnement intermédiaire que j'aimerai comprendre

On a : A=\left\{\left(x,y,z \right) \in R^{3}/ x+2y-3z=0\right\}

Et je sais qu'à la fin, on montre que A est un sev car c'est un sev engendré par une famille de vecteurs. A= Vect((-2,1,0),(3,0,1))

quelle est la méthode ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Montrer qu'un ensemble est un sev 21-01-18 à 21:34

Bonjour
juste écrire que x + 2y - 3z = 0 équivaut à x = -2y + 3z, et y ajouter y = 1y + 0z et z = 0y + 1z

ainsi (x,y,z) est dans A si et seulement si (x,y,z) = (-2y + 3z, 1y + 0z, z = 0y + 1z) = y(-2,1,0) + z(3,0,1)

Posté par
Aalex00
re : Montrer qu'un ensemble est un sev 21-01-18 à 21:44

Bonsoir,

Pour l'égalité du Vect :
A = \left\{\left(x,y,z \right) \in R^{3}\ |\  x+2y-3z=0\right\}
A = \left\{\left(x,y,z \right) \in R^{3}\ |\ \begin{cases} x +2y-3z=0 \\ y=y \\ z=z \end{cases} \right\}        , ici on peut ajouter des équations toujours vraies
A = \left\{\left(x,y,z \right) \in R^{3}\ |\ \begin{cases} x = -2y+3z \\ y=y \\ z=z \end{cases} \right\}        , on transforme l'expression
A = \left\{ y \times \left(-2,1,0 \right) + z \times \left(3,0,1 \right) \in R^{3}\ |\ y,z \in R \right\}
A  = Vect((-2,1,0),(3,0,1))

Sous espace vectoriel ?
A sous espace vectoriel ssi :
\forall a,b \in R et \forall u=(x,y,z),v=(x',y',z') \in R^3   , on a (ax + bx') +2(ay + by') -3(az + bz') = 0
Autrement dit, si la condition de l'ensemble A est vérifiée par combinaison linéaire.

Posté par
Aalex00
re : Montrer qu'un ensemble est un sev 21-01-18 à 21:45

Ah mince, une réponse avait déjà été envoyée ..

Posté par
lafol Moderateur
re : Montrer qu'un ensemble est un sev 21-01-18 à 21:48

inutile de vérifier la stabilité une fois qu'on a vu que c'est un vect ....
Comme son nom l'indique, un sous-espace vectoriel engendré par une famille est un sous espace vectoriel ...



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