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Montrer qu'une fonction n'a ni minimum ni maximum
Bonjour à tous !
J'ai reçu hier soir mes habituels devoirs à la maisons, que j'ai fait aussitôt que j'ai pu. Cependant, un exercice me donne vraiment du fil à retordre...
Voici l'énoncé :
"Montrer que le fonction f(x) = 1/x n'a ni minimum, ni maximum sur R+* .
Indication : on supposera qu'il existe un minimum m (respectivement un maximum M) atteint en un point et on cherchera une valeur x pour laquelle f(x) < m (respectivement f(x) > M)."
En fait, je suis complètement bloquée depuis hier soir... et je ne parviens pas à comprendre ce qu'il faut que je fasse, le raisonnement qu'il y a "derrière". Et même l'indication que l'exercice me donne n'y fait rien, je dirais presque qu'au contraire, elle me confond encore plus... En plus, il faut que je rende ce devoir pour demain !
Merci donc, à ceux qui auront la patience et la gentillesse de m'aider.
Bonjour,
Suppose que la fonction ait un minimum en x0 > 0, soit 1/x0
Que peux-tu dire de f(2x0) ?
De même, suppose que la fonction ait un maximum en x1 > 0, soit 1/x1
Que peux-tu dire de f(x1/2) ?
Bonjour LeHibou !
Malheureusement, je ne comprend pas ce que je pourrais dire de f(2x0) ou de f(x1/2).... pourrais-tu m'expliquer ?
Bonsoir
Suppose un minimum m, c'est-à-dire que pour tout réel x, tu as f(x) ≥ m. Si m > 0, que peux-tu dire de f(-1/m) ? Si m < 0, que peux-tu dire de f(1/2m) ?
Bonjour Bachstelze !
Ha ! D'accord, je vois mieux... Donc, je peux dire que -1 ≥ m et que 1 ≤ 2m .... est-ce que c'est ça ?
Si m > 0, f(-1/m) = -m < 0 < m.
Si m < 0, f(1/2m) = 2m < m.
Dans les deux cas, ça contredit le fait que m soit un minimum de la fonction.
Merci... mais, de nouveau, je ne vois pas comment on est arrivé à ce résultat... Quel est le raisonnement ? Où est-ce que cela me mène ?
Quel résultat ? On trouve des x tels que f(x) < m, donc m ne peut pas être le minimum de la fonction.
Non, là il faut que tu trouves quelque chose de supérieur, puisque tu cherches à contredire le fait que M soit un maximum.
=> Bachstelze, l'énoncé précise 
*+, donc pas question de x < 0...
=> myralu, disons-le autrement :
- on suppose qu'il y a un maximum en a, donc f(a) = 1/a
Tout nombre b plus petit que a, comme par exemple b = a/2, donne un f(b) > f(a), ici f(b) = 2/a
Donc il ne peut pas y avoir de maximum en a
- de même, on suppose qu'il y a un minimum en a, donc f(a) = 1/a
Tout nombre b plus grand que a, comme par exemple b = 2a, donne un f(b) < f(a), ici f(b) = 1/(2a) = (1/2)(1/a)
Donc il ne peut pas y avoir de minimum en a
Pardon, LaHibou, je n'avais pas vu ton post de 13:57.
Maintenant je comprends ! Une question : est-ce que sur mon devoir je dois mettre un exemple comme toi tu as mis a/2 ? Ou je met tout simplement l'explication... "de formule" ?
L'énoncé répond à ta question :
on supposera qu'il existe un minimum m (respectivement un maximum M) atteint en un point et on cherchera une valeur x pour laquelle f(x) < m (respectivement f(x) > M)."
Tu peux le rédiger comme cela :
Si m est un minimum, il est atteint pour x = 1/m, mais alors 2x = 2/m conduit à f(2x) = m/2 < m, donc m ne peut pas être un minimum.
Si M est un maximum, il est atteint pour x = 1/M, mais alors x/2 = (1/2)(1/M) conduit à f(x/2) = 2M > M, donc M ne peut pas être un maximum.
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