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Montrer qu'une suite est bornée

Posté par
HelloMath 20-01-18 à 23:24

Bonsoir

J'aurais besoin de votre aide pour démontrer qu'une suite est bornée

On considère la suite (un définie par : (et pour tout entier naturel n)

U_n = \left(-1 \right)^{n} \cdot \frac{\left\lfloor \frac{1}{3} \; n\right\rfloor }{n^{2} + n + 1}

J'ai le choix entre plusieurs réponses :
a. la suite n'est ni minorée ni majorée
b. la suite est minorée mais pas majorée
c. la suite est majorée mais pas minorée
d. la suite est bornée

Je pense que c'est la dernière option.

On sent  bien que le numérateur est plus petit que le dénominateur. Donc théoriquement, la suite pourrait être minorée par -1 et majorée par 1.

Néanmoins, je n'arrive pas à le démontrer correctement.
j'avais tenté d'écrire :

- \frac{\left\lfloor \frac{1}{3} \; n\right\rfloor }{n^{2} + n + 1} \leq U_n \leq \frac{\left\lfloor \frac{1}{3} \; n\right\rfloor }{n^{2} + n + 1}

mais ça ne m'avance pas vraiment...

Pourriez vous me donner un coup de pouce svp ?
Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Montrer qu'une suite est bornée 20-01-18 à 23:29

Vers quoi tendent tes deux bornes ?

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 20-01-18 à 23:39

Je sais que E(n/3) tend vers +inf (en +inf) et de même pour le polynôme au dénominateur.

Or je ne sais pas comment lever la forme indéterminée quand on a la fonction partie entière :/

Intuitivement, je dirais que les bornes tendent vers 0 ??

Posté par
Glapion Moderateurre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 10:49

la fonction partie entière a la même progression que ce qu'il y a dedans
donc n/3
le numérateur est équivalent à n/3 et le dénominateur à n² donc le quotient tend vers 0
(tu peux aussi mettre n en facteur en haut et en bas et simplifier le n)
les deux gendarmes tendent vers 0 donc la suite aussi.

Posté par
carpediemre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 10:58

salut

sans même parler d'équivalent revenir à la définition de la partie entière suffit

k = E(n/3) \iff k \le n/3 < k + 1 => n/3 \le n/3 < n \iff \dfrac {n/3} {n^2 + n + 1} \le u_n < \dfrac n {n^2 + n + 1} => \dfrac {n/3} {2n^2} \le u_n < \dfrac n {n^2}

Posté par
alb12re : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 11:20

salut,
ne doit-on pas se contenter de montrer que u est bornee ?

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 11:39

Glapion @ 21-01-2018 à 10:49

la fonction partie entière a la même progression que ce qu'il y a dedans
donc n/3
le numérateur est équivalent à n/3 et le dénominateur à n² donc le quotient tend vers 0
(tu peux aussi mettre n en facteur en haut et en bas et simplifier le n)
les deux gendarmes tendent vers 0 donc la suite aussi.


Ah d'accord, je vois..

Et en quoi cela m'aide à savoir que la suite est bornée, je ne comprends pas très bien ??
Il faudrait trouver la variation de Un et montrer qu'elle admet un max et un min ?

carpediem @ 21-01-2018 à 10:58

salut

sans même parler d'équivalent revenir à la définition de la partie entière suffit

k = E(n/3) \iff k \le n/3 < k + 1 => n/3 \le n/3 < n \iff \dfrac {n/3} {n^2 + n + 1} \le u_n < \dfrac n {n^2 + n + 1} => \dfrac {n/3} {2n^2} \le u_n < \dfrac n {n^2}


Bonjour,

Je ne comprends pas où est passé le (-1)^n au moment où vous encadrez (Un)

Posté par
alb12re : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 11:41

à mon humble avis je pense qu'il suffit de majorer la valeur absolue de u(n)

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 11:50

alb12 @ 21-01-2018 à 11:41

à mon humble avis je pense qu'il suffit de majorer la valeur absolue de u(n)


Bonjour,
Je vais essayer et poster mes résultats dans quelques instants

Posté par
carpediemre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 12:07

oui il faudrait écrire |u_n| ...

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 12:16

J'ai n²+n+1 qui est strictement positif sur N.

D'où :

Si n est pair
|u_n| = \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor }{n²+n+1}

Si n est impair :
|u_n| = - \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor }{n²+n+1}

Dans le cas où n est pair (et en partant de la partie) entière j'obtiens :

|u_n| < \frac{ \frac{n+1}{3} }{n²+n+1} \Leftrightarrow |u_n| < \frac{n+1}{3(n²+n+1)} \Rightarrow |u_n| < \frac{n+1}{3(n+1)} \Rightarrow |u_n| < \frac{1}{3}

J'ai testé avec plusieurs valeur de n, ça me parait cohérent..
Est-ce correct ? Si tel est la cas, il faut que je fasse la même chose pour n impair ?

Posté par
alb12re : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 12:18

trop complique, la partie entiere de n/3 est inferieure à n/3

Posté par
alb12re : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 12:19

et la valeur absolue de (-1)^n est inferieure à 1

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 12:39

Ok, alors si je comprends bien :

- \frac{\left\lfloor \frac{1}{3} \; n\right\rfloor }{n^{2} + n + 1} \leq u_n < \frac{\left\lfloor \frac{1}{3} \; n\right\rfloor }{n^{2} + n + 1} \Rightarrow |u_n| \leq \frac{ \frac{n}{3} }{n^{2} + n + 1} \Rightarrow |u_n| \leq \frac{ n }{3(n^{2} + n + 1)} \Rightarrow |u_n|\leq \frac{ n }{3n} \Rightarrow |u_n|\leq \frac{ 1 }{3}

C'est mieux ?

Posté par
alb12re : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 13:55

oui ce qui prouve que la suite est bornee
il est facile de demontrer que la suite est convergente mais ce n'est pas demande ici

Posté par
HelloMathre : Montrer qu'une suite est bornée 21-01-18 à 13:59

Ok, merci beaucoup


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