Bonjour,
C'est un vrai faux avec ou sans justification ?
Qu'as-tu dans ton cours pour la définition de la limite réelle d'une suite ?

Bonjour , nous devons justifier.

J'ai une définition et une propriété:

déf: (un) est une suite et l un réel.
On dit que la suite (Un) converge vers l lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient tout les termes de la suite (Un) à partir d'un certain rang p.
On dit que la suite (Un) est convergente.

Propriété: (Un) est une suite convergente.
                       Alors il existe un unique rél l vers lequel elle converge.
                        Ce réel est appelé limite de la suite et on note lim un quand n tend vers l'infini = l.

Que doit contenir un intervalle s'il contient tous les termes de la suite (Un) à partir d'un certain rang p ?

L'intervalle doit contenir tout les termes de la suite à partie du rang p.

Donc ici ?

-1 ET 1 ?

Pourquoi ce point d'interrogation ?

Peut-on choisir L réel tel que tous les intervalles ouverts contenant L contiennent -1 et 1 ?

Je m'absente un moment.
Continue à chercher pendant ce temps.

On ne peut pas chosir un réel L tel que tout les intervalles ouverts contiennent tout les termes de la suite (Un) puisque si p=3 l'intervalle contiendra uniquement 1.

Je ne comprends pas.

Je veux dire que l'intervalle ouvert ne pourra pas contenir tout les termes de la suites car les termes sont alternés.

Si L = 1/2 alors l'intervalle ]-2 ; 4 [ contient tous les termes de la suite.
Mais il y a des intervalles ouverts contenant 1/2 qui ne contiennent pas en même temps -1 et 1 ; par exemple : ]0 ; 4[ .

A généraliser avec L quelconque.

oui, mais si l'intervalle ouvert contenant L ne contient pas tout les termes de la suite (Un) cela signifie qu'elle n'est pas convergente puisque d'après la définition cet intervalle doit contenir tout les termes...

"si l'intervalle ouvert contenant L ne contient pas tout les termes de la suite (Un) cela signifie qu'elle" ne converge pas vers L

Pour démontrer que la suite n'est pas convergente, on cherche à démontrer ceci :
Pour tout réel L on peut trouver un intervalle ouvert contenant L qui ne contient ni -1 ni 1.

Par exemple si L= 3 alors   l'intervalle ouvert  contenant L , ]2;5[ ne contient aucun terme de la suite .

Comment le généraliser avec L quelconque comme vous l'avez dit ?

Si un intervalle ]a ; b[ contient -1 et 1, que peut-on dire de son amplitude b-a ?

Son amplitude d serait 1-(-1)= 2

L'intervalle ]-3 ; 7[ contient -1 et 1. Son amplitude n'est pas 2.

Je sais pas à part que dans tout les cas l'amplitude sera positif.

Mais après j'ai jamais travaillé sur les amplitudes...

Le mot te rebute peut-être ; ce n'est rien d'autre que la largeur de l'intervalle si tu le représente sur la droite réelle.
Si un intervalle contient -1 et 1, sa largeur est supérieure à 2.
Si L est un réel, on peut construire un intervalle qui contient L et de largeur inférieure à 2.
Tu peux t'aider d'un schéma sur la droite réelle.

Ok j'ai compris pour l'intervalle qui contient -1 et 1 avec sa largueur supérieur à 2. Mais pour le réel L, si j'ai bien compris on fait « l'amplitude de l'amplitude ». C'est à dire que nous déterminons l'amplitude dans l'intervalle -1 et 1 ,qui a une amplitude supérieur à 2 puis dans cet amplitude nous avons le réel L qui est donc compris dans une amplitude inférieur à 2.
Est-ce cela ?

Dans la définition de limite L, il y a ceci :
"tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite (Un) à partir d'un certain rang p."
Comment faire pour donner un contre exemple ?
C'est à dire un intervalle qui contient L mais ni 1 ni -1.
Il suffit de choisir un intervalle "assez petit".
Le "assez petit" étant à préciser.

Donc comme contre exemple on pourrait dire:
On a l'intervalle ]-0,8;0,8[ avec L= 0,5 on a bien L compris dans cet intervalle sans pour autant -1 et 1

Oui, là tu démontres que la suite ne converge pas vers 0,5.

Il faut le faire avec L réel quelconque.
Utilise un intervalle de la forme ]L- ... ; L+...[ qui ne peut pas contenir les deux valeurs 1 et -1 en même temps.

Je me suis trompée là :
"C'est à dire un intervalle qui contient L mais ni 1 ni -1."
C'est "qui contient L mais pas en même temps 1 et -1".

Je ne comprends pas pourquoi on doit faire L-d'un coté et L+ de l'autre

Pour être certain qu'il contient L
Exemple : ] L-0,8 ; L+0,8 [ .
Cet intervalle peut-il contenir à la fois -1 et 1 ?

Oui parce que cela ferait ]-1.8;1.8[ et cela contient à la fois -1 et 1.

Avec quelle valeur de L tu "tombes" sur ]-1.8;1.8[ ???

Ah non , il faudrait alors que L<-0.2 ET que L>0.2.
Donc c'est possible puisque si L -0.2 , -1 sera dans l'intervalle
et si L0.2 ca marche.

Je veux dire qu'il faudrait résoudre les équations:

L-1<-1

L+1>1

Non ,

L-0.8=-1
et
L+0.8=1

On reprend :
L'intervalle ] L-0,8 ; L+0,8 [ peut-il contenir à la fois -1 et 1 ?
Il faudrait L-0,8 < -1 et 1 < L+0,8 .
Équivalent à L < -0,2 et L > 0,2 .

oui mince pourquoi j'ai mis égale...
Donc cela signifie que pour avoir à la fois -1 et 1 dans  l'intervalle ]L-0.8;L+0.8[ il faudrait d'une part que L<-0.2 et d'une autre part que L>0.2.

Donc maintenant il faudrait chercher un contre exemple pour montrer que (Un) n'est pas convergente.

Quel contre exemple ?
Tu es capable de trouver L vérifiant L<-0,2 et L>0,2 ?

J'ai dis une bêtise ?

Pour montrer que la suite n'est pas convergente, il faut montrer qu'aucun réel L ne peut convenir comme limite.

Si un réel L était la limite de la suite, il devrait vérifier L<-0,2 et L>0,2.
Est-ce possible ?

Ca serait possible si la suite est convergente

Je répète cette question :
Tu es capable de trouver L vérifiant L<-0,2 et L>0,2 ?

oui, il faut prendre une valeur de L tel que L<-0.2 par exemple -0.3
                                                                              et pour L>0.2 il faudrait par exemple +0.3

ah bah non cela ferait ]-1.1;1.1[

ducoup c'est pas possible avec L<-0.2 ET L>0.2

Oui, un réel L ne peut pas vérifier en même temps L<-0,2 et L>0,2 .
Donc -1 et 1 ne peuvent pas être tous les deux dans l'intervalle ] L-0,8 ; L+0,8 [ .
Donc aucun réel L ne peut être une limite de la suite.

Donc si elle admet aucun limite réel L , la suite n'est pas convergente. Donc elle est divergente.

Oui.

Donc si je récapitule:

Pour montrer que la suite est n'est pas convergente il faut montrer que l'intervalle de la forme ]L- ... ; L+...[ ne contient pas  les deux valeurs 1 et -1 en même temps.
Donc par exemple si on choisis une valeur comprise entre -1 et 1 tel que 0.6 on a :

L-0.6<-1L<-0.4

L+0.6>1L>0.4

Donc prenons L=-0.5 et L=0.5

Donc ]-0.5-0.6;0.5+0.6[
Donc ]-1.1;1.1[

Donc un réel L ne peut vérifier en même temps L<-0.4 et L>0.4
Donc -1 et 1 ne peuvent pas être tout les deux dans l'intervalle ]L-0.6;L+0.6[.
Donc aucun réel L ne peut être la limite de cette suite.

Conclusion: La suite (Un) n'est pas convergente et une suite qui n'est pas convergente est divergente. Donc (Un) est divergente.

Pourquoi prendre des 0,6 alors que tu avais choisi 0,8 ?
Ne pas prendre d'exemple pour L.

Il faut s'appuyer sur la définition de limite L que tu as dans ton cours.

Pour montrer que la suite est n'est pas convergente il faut montrer qu'aucun réel L ne peut être sa limite.
Pour tout réel L on peut trouver un intervalle ouvert contenant L qui ne contient pas les deux valeurs 1 et -1 en même temps.
En effet, par exemple, l'intervalle ] L-0,8 ; L+0,8 [ ne contient pas 1 et -1 en même temps.
Démonstration :
Pour contenir 1 et -1 en même temps, le réel L devrait vérifier
L-0,8 < -1 < L+0,8 et L-0,8 < 1 < L+0,8
L-0,8 < -1 donne L < -0,2 .
Alors que
1 < L+0,8 donne L > 0,2 .
Les conditions L < -0,2 et L > 0,2 sont contradictoires.

Conclusion: La suite (Un) n'est pas convergente et une suite qui n'est pas convergente est divergente. Donc (Un) est divergente.

pourquoi sont 'ils contradictoires ?