Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

Montrer que c'est un sev

Posté par
KrnT
06-04-21 à 20:45

Bonjour/Bonsoir,
En voulant consacré un peu de temps pour les espaces vectoriels, j'essaye maintenant de combler quelques lacunes qui se situent dans :
Enoncé :
Soit F = { f ∈ F (R,R) /f(0) +f(1) = 0} Montrer que F est un sous-espace vectoriel.
La première étape qui consiste à montrer que le o appartient à F est facile mais pour la deuxième et plus spécifiquement quand il s'agit de fonctions j'ai un peu de problème car ça n'est pas une app linéaire et il faudrait montrer que (Af+g)(0)+(Af+g)(1) avec A un scalaire et f et g deux fonctions de F ( Je suis conscient que c'est facile mais je voudrais avoir une base plus solide )

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 20:55

Bonsoir.

Peut-être que ça te débloquera si je te demande d'écrire précisément ce que signifie Af+g. C'est une fonction ? Si oui, comment est-elle définie ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:02

C'est une fonction définie de R vers R

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:16

Oui mais plus précisément ? Parce que des fonctions de \R dans \R il y en a pas mal...

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:18

A qui pour toute fonction f(0)+f(1)=0

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:26

Je ne comprends pas ta réponse.

Je vais être reposer la question en des termes plus précis. Tu considères deux éléments f,g\in F, c'est-à-dire deux fonctions de \R dans \R qui vérifie f(0)+f(1)=0 et g(0)+g(1)=0. Soit A\in\R. Tu te poses la question de savoir si Af+g\in F. Je te pose en retour la question suivante : qu'est-ce que la fonction Af+g ? Que signifie-t-elle ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:30

C'est une combinaison linéaire qui permet d'après la caractérisation d'un sev de montrer que s'en est bien un, Il faut montrer que la composition de (Af+g)(x) réponds aux conditions, ( Je suis extrêmement désolé je n'ai aucune idée de quoi dire de plus)

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:34

Mais c'est quoi Af+g ? Ou formulé de manière équivalente : comment définit-on (Af+g)(x) lorsque x est un réel ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:38

C'est là où se situe le problème je ne sais pas à quoi elle "égale"

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:41

C'est bien ce qui me semblait. Difficile de montrer des choses sur Af+g si on ne sait pas ce qu'elle signifie. Parfois quand on est bloqué, la meilleure question à se poser est : "que signifie l'objet que je suis en train de considérer ?" Parfois, rien que de donner la définition donne presque la réponse. Si on ne sait pas, on revoit le cours.

La fonction Af+g est par définition la fonction qui à un réel x associe le réel Af(x)+g(x). On a donc, par définition :
\forall x\in\R,\quad (Af+g)(x)=Af(x)+g(x).
Aucun théorème ou aucune propriété n'est invoquée ici, ce n'est que la définition de Af+g.

À partir de là, vois-tu comment continuer l'exercice ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:44

Je pensais qu'il fallait que l'app soit linéaire pour que ça soit le cas, merci infiniment !!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:47

Hmmm attention aux définitions. J'ai l'impression que tu as confondu (Af+g)(x) avec quelque chose du genre f(Ax+y). Effectivement, si f n'est pas linéaire, alors on n'a aucune raison d'avoir f(Ax+y)=Af(x)+y. Mais ici c'est hors-sujet.

Posté par
verdurin
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:49

Bonsoir,
je crois que c'est une mauvaise idée de vouloir montrer directement que :

\forall f\in F\ \forall g\in F \forall A\in\R \quad (Af+g)\in F

À mon avis il est beaucoup plus logique de diviser le problème en deux.

Si A est un réel et f une fonction appartenant à F alors Af est une fonction appartenant à F : \forall f\in F\  \forall A\in\R \quad Af\in F

Si f et g sont des fonctions appartenant à F alors f+g est une fonction appartenant à F : \forall f\in F\ \forall g\in F \quad (f+g)\in F

Bien sur la question de WilliamM007 reste posée :
comment est définie la fonction Af ?
comment est définie la fonction f+g ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:50

Merci infiniment, tu viens de m'éclaircir à l'instant une myriade d'exercices restés à cette heure incompris, Je t'en suis infiniment reconnaissant

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:51

WilliamM007 @ 06-04-2021 à 21:41

C'est bien ce qui me semblait. Difficile de montrer des choses sur Af+g si on ne sait pas ce qu'elle signifie. Parfois quand on est bloqué, la meilleure question à se poser est : "que signifie l'objet que je suis en train de considérer ?" Parfois, rien que de donner la définition donne presque la réponse. Si on ne sait pas, on revoit le cours.

La fonction Af+g est par définition la fonction qui à un réel x associe le réel Af(x)+g(x). On a donc, par définition :
\forall x\in\R,\quad (Af+g)(x)=Af(x)+g(x).
Aucun théorème ou aucune propriété n'est invoquée ici, ce n'est que la définition de Af+g.

À partir de là, vois-tu comment continuer l'exercice ?

Je crois n'avoir jamais vu cette propriété où suis-je sensé l'avoir apprise ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:53

verdurin @ 06-04-2021 à 21:49

Bonsoir,
je crois que c'est une mauvaise idée de vouloir montrer directement que :

\forall f\in F\ \forall g\in F \forall A\in\R \quad (Af+g)\in F

À mon avis il est beaucoup plus logique de diviser le problème en deux.

Si A est un réel et f une fonction appartenant à F alors Af est une fonction appartenant à F : \forall f\in F\  \forall A\in\R \quad Af\in F

Si f et g sont des fonctions appartenant à F alors f+g est une fonction appartenant à F : \forall f\in F\ \forall g\in F \quad (f+g)\in F

Bien sur la question de WilliamM007 reste posée :
comment est définie la fonction Af ?
comment est définie la fonction f+g ?

La réponse est similaire à celle qu'à donner william non ?
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(Af)(x)=Af(x)

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:57

KrnT @ 06-04-2021 à 21:51


Je crois n'avoir jamais vu cette propriété où suis-je sensé l'avoir apprise ?

De quelle propriété parles-tu ? Je n'ai fait que rappeler une définition.

KrnT @ 06-04-2021 à 21:53

La réponse est similaire à celle qu'à donner william non ?
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(Af)(x)=Af(x)

Tout à fait. Mais c'est effectivement très souvent plus simple de le faire en deux temps. Parce que les raisons qui font que le sous-espace stable est stable par multiplication par un scalaire, et stable par addition, ne sont pas forcément les mêmes, et parfois ce n'est pas évident de chercher à gérer les deux en même temps. Mais dans le cas de ton exo je pense qu'on peut se permettre de le faire en une fois quand même...

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 21:59

WilliamM007 @ 06-04-2021 à 21:57

KrnT @ 06-04-2021 à 21:51


Je crois n'avoir jamais vu cette propriété où suis-je sensé l'avoir apprise ?

De quelle propriété parles-tu ? Je n'ai fait que rappeler une définition.

Oui je parlais de la définition je crois ne l'avoir jamais vu , d'après-vous quelle leçon est sensé nous l'apprendre ?

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 22:05

Je viens d'établir un exemple, désolé de vous avoir déranger je viens de comprendre que c'est quelque chose d'évident

Posté par
WilliamM007
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 22:10

Tu devrais l'avoir vu lors d'un cours sur les espaces vectoriels. Normalement on t'a dit que l'ensemble \mathcal F(\R,\R) des fonctions de \R dans \R est un espace vectoriel. D'ailleurs tu l'exploites dans ton exo, puisque tu montres que F est un sous-espace vectoriel de \mathcal F(\R,\R), ce qui n'a de sens que si \mathcal F(\R,\R) est un espace vectoriel. Mais pour parler d'espace vectoriel, il faut munir \mathcal F(\R,\R) d'une addition interne +, et d'une multiplication externe par un scalaire \times. C'est probablement par là dans le cours qu'on les définit.

Une autre possibilité est d'avoir vu la définition de l'addition entre deux fonctions dans un cours d'algèbre. Parce que \mathcal F(\R,\R) est aussi un anneau, sur lequel on peut définir la même addition interne +. On peut aussi définir une multiplication interne \times, c'est-à-dire que pour deux fonctions f et g, on définit leur multiplication f\times g, ou plus simplement fg, comme étant la fonction de \R dans \R qui à tout réel x associe le réel f(x)g(x). Attention, cette multiplication interne n'a rien à voir avec la multiplication externe par un scalaire, même si je les ai appelées toutes les deux "\times".

Ce sont quand même des définitions assez naturelles. Même si on ne te les a pas explicitement données dans le cours, ça se devine. L'addition entre deux fonctions, ça ne peut être que ça...

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 06-04-21 à 22:12

Merci encore pour tout !

Posté par
carpediem
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:25

KrnT @ 06-04-2021 à 21:51

Je crois n'avoir jamais vu cette propriété où suis-je sensé l'avoir apprise ?


franchement (et par exemple je le fais avec mes PTI en première ... pour les fonctions "carrées" et "cubes" ...)

si f(x) = 3x^2 - 4 et g(x) = 4x - 5 que vaut f(x) + g(x) ? 2f(x) - 3g(x) ? ...

n'est-ce pas tout simplement la fonction h = f + g définie par h(x) = f(x) + g(x) ...

Posté par
carpediem
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:33

WilliamM007 (msg de 22h10) : tout cela était proprement formalisé en 1e S il y a quelques années (disons une décennie en gros) ....

maintenant on leur demande de faire de la musique ... sans instrument ... et c'est donc normal qu'ils éprouvent certaines difficultés

même si

WilliamM007 @ 06-04-2021 à 22:10

Ce sont quand même des définitions assez naturelles. Même si on ne te les a pas explicitement données dans le cours, ça se devine. L'addition entre deux fonctions, ça ne peut être que ça...


et il est même très naturel de "voir" que la fonction "carré" (2x + 1)(3x - 2) est le produit de deux fonctions affines ... sans aucune formalisation explicite d'opérations sur les fonctions ...

la composition en est un exemple aussi et après sa disparition elle est revenue plus explicitement bien qu'on aie continué de parler de e^u, ln u, u^n, ...

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:36

carpediem @ 07-04-2021 à 17:25

KrnT @ 06-04-2021 à 21:51

Je crois n'avoir jamais vu cette propriété où suis-je sensé l'avoir apprise ?


franchement (et par exemple je le fais avec mes PTI en première ... pour les fonctions "carrées" et "cubes" ...)

si f(x) = 3x^2 - 4 et g(x) = 4x - 5 que vaut f(x) + g(x) ? 2f(x) - 3g(x) ? ...

n'est-ce pas tout simplement la fonction h = f + g définie par h(x) + f(x) + g(x) ...

J'étudie le cours des e.v en autodidacte, mon esprit a tendance à dérailler même devant les notions les plus évidentes et tout cela est dû à vouloir apprendre le plus possible durant des heures de travail , excusez mon désarroi j'en suis terriblement navré

Posté par
carpediem
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:46

justement c'est peut-être là ton erreur :

KrnT @ 07-04-2021 à 17:36

carpediem @ 07-04-2021 à 17:25


J'étudie le cours des e.v en autodidacte, mon esprit a tendance à dérailler même devant les notions les plus évidentes et tout cela est dû à vouloir apprendre le plus possible durant des heures de travail , excusez mon désarroi j'en suis terriblement navré

parfois en apprendre un peu moins et bien le travailler est plus riche car cela est plus solide pour la suite ...

allez trop vite est quasiment toujours source de confusions ...

et tu n'as pas à être navré, c'est déjà très courageux de travailler en autodidacte car pas facile donc c'est normal de faire des erreurs ...

mais parfois prendre le temps de la réflexion pour bien s'approprier les choses est beaucoup plus efficace !!

alors courage, c'est plus un pb de méthode !!!

Posté par
matheuxmatou
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:49

et c'est important de préciser que tu travailles en autodidacte car c'est un renseignement important pour les aidants... afin de répondre en conséquence.

Pour ma part je te dis Bravo, et surtout n'hésite pas à venir ici quand tu as un doute, même si c'est sur une notion de base.

Comme le dit carpediem, il ne faut pas se précipiter et assurer les connaissances de base pour construire quelque chose de solide

mm

Posté par
KrnT
re : Montrer que c'est un sev 07-04-21 à 17:55

carpediem @ 07-04-2021 à 17:46

justement c'est peut-être là ton erreur :
KrnT @ 07-04-2021 à 17:36

carpediem @ 07-04-2021 à 17:25


J'étudie le cours des e.v en autodidacte, mon esprit a tendance à dérailler même devant les notions les plus évidentes et tout cela est dû à vouloir apprendre le plus possible durant des heures de travail , excusez mon désarroi j'en suis terriblement navré

parfois en apprendre un peu moins et bien le travailler est plus riche car cela est plus solide pour la suite ...

allez trop vite est quasiment toujours source de confusions ...

et tu n'as pas à être navré, c'est déjà très courageux de travailler en autodidacte car pas facile donc c'est normal de faire des erreurs ...

mais parfois prendre le temps de la réflexion pour bien s'approprier les choses est beaucoup plus efficace !!

alors courage, c'est plus un pb de méthode !!!



Merci infiniment pour votre conseil !!!



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1458 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !