Bonsoir,

Pour montrer que deux normes sont uniformément équivalentes, il suffit de montrer qu'elles induisent la même topologie. En d'autres termes, il faut montrer que la notion de convergence (et donc d'ouverts, de fermés, etc.) est la même avec les deux normes.

Dans le cas présent, on peut montrer que la norme et la norme euclidienne sont uniformément équivalentes en montrant que tout ouvert (resp. fermé) pour l'une est un ouvert (resp. fermé) pour l'autre.

Voici quelques pistes pour commencer :

* Montrer que la norme est continue par rapport à la norme euclidienne. Plus précisément, montrer qu'il existe des constantes telles que pour tout , où est la norme euclidienne. Cela implique que la convergence dans l'une est équivalente à la convergence dans l'autre.

* Pour tout , montrer qu'il existe un rayon tel que le disque fermé (i.e., la boule fermée de rayon pour la norme ) contient le disque fermé (i.e., la boule fermée de rayon ) pour la norme euclidienne. Cela montre que tout ouvert pour l'une est un ouvert pour l'autre.

* Montrer que tout fermé pour est un fermé pour , et vice versa. Pour cela, on peut utiliser le fait que la norme est continue et que toute suite convergente dans un fermé converge également dans le même fermé.

* Une fois montré que les deux normes sont uniformément équivalentes, vous pouvez utiliser cela pour montrer des propriétés sur la norme en utilisant des propriétés que vous connaissez sur la norme euclidienne, et vice versa.

D'accord merci

D'accord merci beaucoup  j'essayerai cela*

De rien, tu pourrais écrire tes résultats ici pour qu'on puisse vérifier ensemble.

D'accord j'essairai en fait c'est super long je l'ai déjà fait sur papier
La charte du forum me permet-elle de filmer mon travail s'il vous plaît ?

J'essayerai *