bonjour

regarde deux valeurs (simples) de x

Ah! et en prenant deux valeur de x pour avoir deux équations?!

Merci^^

Si e^x et e^2x sur D sont liées, alors il existe et   tels que

pour tout x de D,  

Trouve un contre-exemple

Du coup,




et


Donc:
a=-b








Du coup, ils sont libres. Nan?

Respectueusement

sqrt

Et ouais

Merci^^

Derien

Mais finalement,

Je ne sais que a=0 et b=0 que pour x=0 et x=1.
Rien ne me dis que pour tout x dans les réels je gardes a=0 b=0

Bonjour
si tu cherches à montrer que la famille de réels (e^x, e^(2x)) est liée, pour tout x réel, c'est fastoche : IR est de dimension 1, tu as deux vecteurs : soit ils sont distincts (si x non nul), et il y en a un de trop pour que ça puisse être libre
soit ils sont confondus (si x = 0), mais une famille qui comporte deux fois le même vecteur est liée aussi

Maintenant, bien que tu ne l'aies jamais exprimé ainsi, si tu cherches à prouver que la famille (exp, f), où f est la fonction , est libre, là il faut montrer que si on a a et b réels tels que a.exp + bf est la fonction nulle, c'est à dire tels que pour tout x, , alors a et b sont tous les deux nuls. remarque bien qu'on ne cherche pas un a et un b pour chaque x, mais un a et un b tels que pour tout x l'égalité soit satisfaite

mais si on a ça pour tout x, on l'a en particulier pour x = 0, donc a+b doit être nul, et aussi pour x = 1, donc ae+be² est nul aussi : tu as montré que ça oblige à choisir a = b = 0

une fois que tu as a = b=0, tu auras bien pour tout x réel, , que x soit égal à 0, à 1 ou à !

Merci beaucoup Lafol

salut

pour tout réel x :

si alors en dérivant

par soustraction b = 2b donc b = 0 ... donc a  = 0

Bonsoir

Sans aucun calcul : le polynôme aX+bX² admet une infinité de racines (surjectivité de exp et infinité de R+*) donc est nul.