Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Montrer que E commute avec tout éléments h de G

Posté par
KrnT 21-10-21 à 23:58

Bonjour/Bonsoir,
Un exercice qui paraît très simple me donne un peu de fil à retordre :
Enoncé :
E un R ev de Dim finie, G un groupe fini d'automorphisme linéaires de E : G un sous groupe de GL(E) de card m
A tout endomorphisme de E  on associe u°=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}^{}{g^{-1}ug} .
Montrer que u° commute avec tout élément h de G
(Par soucis de simplicité nous noterons h°f=hf)
Ma rédaction :
Par un raisonnement de chainage arrière :
pour un h appartenant à G nous devons montrer que u°h=hu°
u°=h-1uh
on a u°=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}^{}{g^{-1}ug}
h^{-1}u°h=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}^{}{gh^{-1}ugh}
en posant gh=f
h^{-1}u°h=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}^{}{f^{-1}uf}
ce qui est équivalent à u°
( Ce raisonnement sonne très faux mais je ne sais pas comment m'y prendre)
Merci de m'aider !

Posté par
Ulmierere : Montrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 11:32

C'est vraiment très très mal rédigé mais tu as sais l'idée.

Soit h \in G. Alors
\begin{array}{lcl} \\ h^{-1}u^\circ h &=& h^{-1}\circ\left(\dfrac1m\sum_{g\in G} g^{-1}ug\right) \circ h\\ \\ &=& \dfrac1m\sum_{g\in G} (h^{-1}g^{-1} u gh)\\ \\ &=& \dfrac1m\sum_{g\in G} (gh)^{-1} u (gh) \\ &=& \dfrac1m\sum_{t\in G} t^{-1} u t\\ \\ &=& u^\circ \\ \end{array}

L'avant dernière ligne étant justifiée par le fait que g\in G \longmapsto gh^{-1}\in G est une bijection de G\to G

Posté par
Ulmierere : Montrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 11:33

Coquille : c'est g\in G \longmapsto gh\in G, bien sûr

Posté par
DOMOREAMontrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 12:13

bonjour,
en gros ton raisonnement me semble juste.
G est fini et c'est un groupe d'automorphismes ainsi pour tout h de G,\{g_1;g_2;...;g_m\}=\{hg_1;hg_2;...;hg_m\}=\{g_1h;g_2h;...g_mh\}
En effet dire que u° commute avec h c'est écrire que h^{-1}u°h=u°
En écrivant u°=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}g^{-1}ug=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}(hg)^{-1}u(hg)=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}(g^{-1}h^{-1}u(hg)=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}g^{-1}(h^{-1}uh)g=(h^{-1}uh)°=h^{-1}u°h
la dernière égalité est évidente car h^{-1}u°h=h^{-1}(\frac{1}{m}\sum_{g\in G}g^{-1}ug)h=\frac{1}{m}\sum_{g\in G}(gh)^{-1}u(gh)

Posté par
carpediemre : Montrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 18:53

salut

v = \dfrac 1 m \sum_{g \in G} g^{-1}ug

mhv = \sum_g hg^{-1}ug = \sum_g (gh^{-1})^{-1} ug = \sum_g (gh^{-1})^{-1} u (gh^{-1})h = mvh

avec bien sûr l'argument

Ulmiere @ 22-10-2021 à 11:32

L'avant dernière ligne la dernière égalité étant justifiée par le fait que g\in G \longmapsto gh^{-1}\in G est une bijection de G\to G


Posté par
KrnTre : Montrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 19:00

Merci beaucoup ! J'ai du mal à interpreter les isomorphisme c'est pour ca que ca ma parue bizarre de procéder de la sorte. ( Changement de variable )

Posté par
carpediemre : Montrer que E commute avec tout éléments h de G 22-10-21 à 19:17

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !