Bonjour,

Désolé que je n'écrives pas des formules.

Supposons que admet des limites finies (imposé par l'équation de l'énoncé) en   et en  , donc en ces bornes admet des asymptotes et de fait f' serait nulles en   et en  , appliquons cela à l'équation nous obtenons que les limite de en   et en   sont nulles.

Du moment que est décroissante (facile à démontrer à partit de l'équation), donc est nulle.

Merci! J'y étais presque ^^

Desole, je n'ai pu taper les formules pour tout ce qui limites, etc ...mais je pense que le cheminement des étapes du raisonnement est simple.

Bonne continuation.

Bonjour Razes !
Déjà ton affirmation que l'existence d'une limite finie en suffit pour une dérivée de limite 0 est fausse pour . Mais il est vrai que cette fonction n'est pas monotone.

Soit affine par morceaux, dont le graphe de la restriction à tel que ,  joint les points   (on peut lisser pour avoir une fonction de classe ). Il me semble que cette fonction est décroissante de limite 0 en mais la dérivée n'a pas pour limite 0.

bonjour,
Supposons f non nulle, alors il existe
supposons cela n'infirme en rien la démonstration.
Posons montrons alors qu'il existe pour montrer la contradiction.
Choisissons le choix sera expliqué ci-après
Il suffit d'utiliser  le théorème des accroissements finis  par exemple sur un intervalle du type [-2B;-B]  B>0.
comme f est bornée supérieurement et de limite cette borne ,
et donc
le choix de n'a pas d'importance , pourquoi pas , c'est le choix de B qui dépend de qui lui-même dépend de avec la relation:
il faudra obtenir
Je laisse à notre posteur  le soin du bricolage.

On a donc  |f| 1 et f ' 0  de sorte que f est décroissante .

..De plus f est à valeurs dans ]-1 , +1[ :
     Supposons  en effet qu'il existe a tel que f(a) = 1 .
On a alors ,  sur  ]-  , a] ,  f = 1  ( et donc f '  = -1 )   ce qui est contradictoire avec la bornitude de f . On a donc f(x) < 1 pour tout x .
    Preuve analogue de  f(x) > 1 pour tout x .

..On a : 1 + f ' (1 - f²)^1/2 donc  f ' - f² /2 .

Supposons que f ne soit pas nulle . Il existe alors un intervalle  J de la forme    ]- , a]  ou    [b , +[ sur le quel f ne s'annule pas  et pour x et y  dans J   tels que  x < y  on a : 1/fy) - 1/f(x)   (y - x)/2
Si  J= ]- , a] ,  f(x) 0 quand x -smb]infini[/smb donc f = 0 sur J  .Ce n'est pas vrai .
Preuve analogue si J =  [b , +[  .

Conclusion :  f = 0 .

Joli etniopal, et sans bricolage
Un détail m'échappe : où est utilisé -1 < f(x) < 1 ?
Pour démontrer f ' - f² /2 , il suffit de développer les carrés dans f² + (1+f')² 1

C'est vrai , que c'est inutile  !
J'étais parti sur  autre chose  (dans mes bricolages antérieurs )  et j'ai oublié de le supprimer .

Bonjour,
Voici une démonstration qui évite tout calcul.  En ayant observé que la condition implique   et   bornée
On en déduit successivement que   f est décroissante, admet une limite
a en ,  une limite  b  en    et ainsi   tend vers 0 en
En passant à la limite dans l'inégalité  proposée on obtient . cqfd

J'en profite pour ajouter une autre question .
Soit un nombre quelconque, Que devient la réponse si on remplace le membre de droite de l'inégalité de départ (i.e 1) par ?

Razes    &       jb2017 :
  Ce doit être du à la canicule , ou à ma débilité précoce , mais je ne vois pas comment montrer simplement que f '(x)    0 quand |x|   + .
Si vous pouviez m'en   donner  une  (de preuve simple ) ?

Cela vient tout bêtement de l'identité

Bon, c'est vrai f n'est pas forcément de classe
On adapte alors :   il existe  nécessairement une suite qui tend vers   tel que tend vers 0. Et cela implique b=0. Idem  en

salut

  (+)

donc f est décroissante et bornée :     inutile ...

f' est négative :

de plus f' est bornée et   (*)



or f' est négative donc

si alors et  (*)   donc

si alors   et  (*)   donc

donc dans tous les cas

et alors (+)

désolé j'ai dit une connerie ...



... et m...


désolé ...

jb2017

  Il me semble que dans ton  message  d'hier à 23:24 tu penses que  si u : _{+      +}  est continue  et intégrable (   u < + ) alors u(x) 0 quand x + .

Je te laisse le soin de montrer que ce n'est pas toujours vrai .  

Bonjour,

dérivable sur  et on a

1)   dérivable sur , Donc continue  
2)      est décroissante.
3)        est bornée

Donc, on peut facilement conclure  que les limites finies de existent en et en (respectivement avec )

Soit , Soit , d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

; tel que:

;  de plus ceci n'est valable que si: et ceci et aussi  

On procède de la même façon en .

Donc on peut conclure que est constante. Donc est nulle, nous l'injectons dans l'équation    ce qui entraine que est la fonction nulle.

Bonjour
@etnopial.
Je n'ai jamais dit cela. Il ne faut pas me faire dire ce que je n'ai pas dit.  
Vu l'heure tardive j'ai dû lire un peu vite l'énoncé et j'ai proposé une solution
comme si dans l'hypothèse on dit que f est de Classe C^1. Cela arrive.  Je n'ai jamais utilisé ce que tu dis c'est à dire sans les hypothèses  de l'énoncé.
Ensuite vu ta remarque, j'ai rectifié immédiatement et d'ailleurs la solution en est encore plus simple.

Razes

Et tu as raison !

jb2017

Je te demandes comment tu  montres simplement que f '(x) tend vers   0 quand |x|   tend vers + et tu me réponds   que tout vient bêtement de   .

S'i l ne faut pas  comprendre   que   f ' 0 parce que  converge quant x - et quand x +   , que faut-il donc  comprendre ? .
Ce que tu rajoutes ensuite ( f n'est pas supposée C1) ne corrige pas ce qu'il faut entendre d'autre .

   jb2017
      Comment  fabriques-tu  (toujours simplement ) une suite u telle que u + et f' o u 0 ?
Ou comment montres-tu qu'il y en a nécessairement une .

@etnopial
Pour le cas où si f avait été de classe   c'est clair que j'ai utilisé les hypothèses sur f' pour qui en on sait que f'(x) garde un signe constant négatif.
Maintenant avec cela tu utilises simplement (vu que bêtement est une expression qui te chagrine)   (on peut supposer que f(0)=0 cela ne change rien au raisonnement)  et un petit raisonnement par contradiction montre que f'(x) tend vers 0).
J'insiste la continuité de f' intervient mais aussi son signe constant.  


Maintenant c'est vrai f' n'est pas forcément continue dans les hypothèses mais cela ne complique pas les choses au contraire.
La aussi l'existence de la suite (x_n) me semble évidente.
( Par contradiction s'il n'y avait pas une telle suite telle  que tende vers 0, alors on aurait un tel que pour A assez grand  
Et la conclusion vient tout simplement de (et du fait que f a une limite b. )

bon mon premier post fut ... décevant ...

pour revenir sur le post de Razes pour lequel il n'est pas satisfait  !! je propose plutôt :

pour tout x  alors d'après le TAF _{^{et non pas le TVI}} il existe u tel que      et  

or f est bornée donc le premier membre tend vers 0  lorsque x tend vers donc f' tend de même vers 0 lorsque x tend vers

mais bon je ne vois toujours pas comment conclure ...

Bonjour,
Je ne voulais pas mettre mon grain de sel après le message d'etniopal du 16 à 17h15 ; mais vu le nombre d'interventions depuis , je me lance.
L'inégalité qu'etniopal a trouvée est le déclic.
Une démonstration pas trop compliquée et niveau terminale est possible à partir des deux propriétés :
La fonction f est bornée et dérivable sur et f ' - f² /2
f est alors décroissante.

Démonstration de pas de a réel tel que f(a) < 0 :
Si f(a) <0 alors f(a) = -A avec A>0 . Et si x a alors f(x) -A ; donc (f(x))² A² .
D'où f'(x) -A²/2 . A partir de là, on peut intégrer de a à x, toujours avec x a :
f(x) - f(a) -(x-a)A²/2 . D'où f(x) f(a) - (x-a)A²/2 qui donne une limite - pour f(x) en +.

Si les intégrales vous dérangent, on fait avec g(x) = f(x) + (x-a)A²/2 qui est décroissante sur [a ; [.
Comme g(a) = f(a) < 0 , g est négative sur [a ; +inf[.
Si x a f(x) + (x-a)A²/2 < 0 donc f(x) < -(x-a)A²/2 et on retrouve la limite - pour f(x) en +.

Demain démonstration de pas de a réel tel que f(a) > 0
J'espère que je ne découvrirai pas que ça ne marche pas...

Démonstration de pas de a réel tel que f(a) > 0 :
Si f(a) > 0 alors f(a) = B avec B>0 . Et si x a alors f(x) B ; donc (f(x))² B² .
D’où f '(x) -B²/2 . A partir de là, on peut intégrer de x à a, toujours avec x a :
f(a) - f(x) -(a-x)B²/2 . D’où f(x) f(a) + (a-x)A²/2 qui donne une limite + pour f(x) en -.

Si les intégrales vous dérangent, on fait avec g(x) = f(x) + (x-a)B²/2 qui est décroissante sur ]- ; a].
Comme g(a) = f(a) > 0 , g est positive sur ]- ; a].
Si x a f(x) + (x-a)B²/2 > 0 donc f(x) > -(x-a)B²/2 et on retrouve la limite + pour f(x) en -.

Bonjour !
Il y a la démonstration de etniopal : rien à redire.

Il y a la démonstration de Razes : à mon avis, même si une fonction est monotone et a une limite finie en , il n'y a aucune raison pour que la limite de la dérivée soit nulle.
Exemple :
Soit affine par morceaux dont le graphe de la restriction à joint les points (exemple classique de fonction de signe constant dont l'intégrale est convergente et que n'a pas pour limite 0).
Pour on a une fonction dérivable et décroissante.
Elle a une limite finie en car l'intégrale est convergente : il suffit ici de voir que .
Mais n'a pas une limite nulle en .

Par contre on peut arranger la démonstration de Razes en montrant que 0 est une valeur d'adhérence de en .
Soit . Il existe tel que .
Par formule des accroissements finis, il existe tel que .
Il en résulte puisque .
Et même, si est négative, .

Toujours avec ces ,  pour la fonction vérifiant , on a donc est aussi valeur d'adhérence de en . La fonction a donc une limite nulle en .
Même raisonnement pour montrer que la limite en est nulle et la conclusion puisque est décroissante.

@bonjour
D'accord @Luzak mais je persiste à dire que si f est de classe C^1 (je sais que ce n'est pas le cas mais au départ je l'avais supposé ) , si f a une limite  en +\infty et si f' garde un signe constant négatif alors f' tend vers 0.
D'autre part si f est simplement dérivable (i.e pas de classe C^1) alors il existe bien une une suite (x_n)  qui tend vers l'infini et tel que f'(x_n) tend vers 0 et cela conduit directement au résultat. Je pense que c'est évident.  
Il ne s'agit pas de comparer les démonstrations mais tout de même  j'apporte une démonstration très simple dont tous les messages laissent à croire qu'elle est fausse.


  

luzak

Une deuxième preuve simple et sans trop de calcul :
Pour tout n ,  il y a  au moins un t  dans ]n , n + 1[  tel que f(n+1) - f(n) = f '(t) . On en choisit un (s'il y en a plusieurs) qu'on appelle  u(n) .

|u(n)| tend donc vers 0 quand |n| +  ce qui suffit à entariner que f = 0 .

Remarque  (pour répondre à une question de JB  du 16-07-17 à 21:11):
    Si m² > 1 la relation  " f dérivable et   x ,  f(x) ² + (1 + f '(x))² < m²  " n'entraine pas " f = 0 "
IL n'ya qu'à regarder  x   m/2

etniopal : n'est-ce pas ce que je dis à 20h18 ?

d'ailleurs j'ai failli prendre x et x + 1 ...

bonjour,
puisque tout le monde en est à satisfaire son égo, je vais m'y mettre en prenant conscience que c'est bien infantile;
Bonjour carpediem . regarde mon post du 16/07 à 15h passé
Je démontre  par un raisonnement par contradiction, en utilisant l'égalité des accroissements finis que si f(x0) différent de 0 (je suppose positif) alors on trouve x1<x0   tel que f(x1)<f(x0).
j'ai négligé les détails car on est tous des grands garçons;

Bonjour jb2017.
Mézenfin ! Relis la partie en bleu de mon message : la fonction est de classe , a une limite finie en . Sa dérivée est négative mais n'a pas une limite nulle puisque  

Rebonjour Luzak
Je crois qu'il y a incompréhension. Je ne conteste pas du tout ton exemple justement parce que ton exemple de fonction f n'est pas de classe C^1.
Mais tous les messages successifs ne doivent pas laisser croire que ma démonstration est fausse aussi bien celle que j'ai donnée en premier (mais  où j'avais oublié ou pas fait attention que f n'était pas de est de classe C^1 et la deuxième la bonne.
Je crois vraiment  que c'est moi que l'on n'a pas bien lu.

Concernant le message de carpediem (salut à toi !) hier à 20:18.
La relation : et l'existence d'une limite nulle pour le quotient ne permet pas de conclure que a une limite nulle, même si a un signe constant (ce que tu n'utilises d'ailleurs pas).

Pour une dérivée qui n'est pas de signe constant, est un bon exemple...

Pour une dérivée de signe constant, voir mon exemple en bleu (où j'ai mis à la place de ).
Ceci dit j'ai oublié un signe "-" dans le calcul de l'intégrale : c'est ...

Alexique : il me semble que l'idée d'etniopal c'est qu'on démontre que f tend vers 0 en -oo et en +oo ...

et puisqu'elle est décroissante elle est nulle ...

luzak : merci ...

Bonjour @lusak
Milles excuses j'ai déconné à plein tube.

Bon malgré tout si f  n'est que dérivable  et avec les hypothèses du problème c'est évident  qu'il existe une suite (x_n)  blabla d'ailleurs j'ai donné une explication plus haut...

Et,  il faut au moins me reconnaître que j'ai fourni une démonstration simple qui s'ajoute aux autres...  

Amicalement