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Montrer que (Ln(x))'=1/x.

Posté par
toureissa 03-04-18 à 19:07

Bonsoir ,

J'aimerais savoir si la fonction ln est défini à partir de sa dérivée.
Je ne comprend pas pourquoi la dérivée de ln est 1/x.
Je sais que ln est défini tel que :
b×ln(a)=ln(a^b) .Il est définit pour faciliter le calcul des puissance (multiplication).

Par exemple si je voulait calculer a^b , je cherche ln(a) dans la table de Napier puis multiplier par b. Je cherche ensuite dans la table de Napier le nombre dont ln est b×ln(a) , ainsi ce nombre est a^b.

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 03-04-18 à 20:01

Tu pourrais consulter un ancien sujet du site, "Démonstration de la dérivée du logarithme népérien", du 9-5-15.

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 03-04-18 à 20:33

Merci j'ai vu ici

** image supprimée **

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 03-04-18 à 22:35

Ici démonstration de la dérivée de la fonction ln

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 04-04-18 à 02:06

toureissa @ 03-04-2018 à 19:07

J'aimerais savoir si la fonction ln est défini à partir de sa dérivée.
Je ne comprend pas pourquoi la dérivée de ln est 1/x.

En général, c'est comme ça qu'on définit la fonction $\ln$ en terminale : $\forall x > 0,~\ln(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}$ .
Donc il n'y a pas à chercher midi à quatorze heure : dans ce cas $\forall x > 0,~\ln'(x) = 1/x$
De là, on déduit aisément la propriété $\ln(a.b) = \ln(a)+\ln(b)$ .

Sinon, on a la version "étude supérieure" qui consiste à définir $\ln$ comme la réciproque de l'exponentielle, ce qui un poil plus naturel que la définition ci-dessus.

Du coup $\exp \circ \ln = Id_{\R^*_+}$ et on a par dérivation des fonctions composées $\ln'*(\exp' \circ \ln) = \ln'*Id_{\R^*_+} = \mathbf 1_{\R^*_+}$ d'où $\ln' = \mathbf 1_{\R^*_+}/Id_{\R^*_+}$ .

Bon ! vu comme ça, c'est un brin pédant.

Donc, $\forall x >0, e^{\ln(x)} = x$ donc $\ln'(x).e^{\ln(x)} = 1$ donc $\ln'(x).x = 1$ d'où $\ln'(x) = 1/x$

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 04-04-18 à 08:53

hello
programme officiel actuel : "On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l'équation fonctionnelle."

il est demandé d'introduire la fonction exponentielle le plus tôt possible dans l'année (lien avec la physique), et ensuite seulement la fonction log. La fonction ln est souvent introduite alors comme réciproque de la fonction exponentielle

Posté par re : Montrer que (Ln(x))'=1/x. 04-04-18 à 17:28

Bonsoir,
j'aimais bien la démonstration basée sur le lemme.

Si f est une fonction dérivable sur ]0;+[ vérifiant f(xy)=f(x)+f(y) alors f'(x)=f'(1)/x.