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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Montrer que [tex]\Phi[/tex] est linéaire .

Posté par
kArMH
21-07-21 à 19:21

Bonjour à tous

\Phi  désigne une application de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) dans lui-même telle que, pour tout couple (A,B) d'éléments de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), les matrices \Phi(A)\Phi(B) et AB aient le même polynôme caractéristique. On admet que la famille (\Phi(E_{i,j}))_{ij} est une base de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et que, pour tout (i, j) \in\{ 1,...,n\}^2, Tr((\Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B))\Phi(E_{i,j}))= 0.

Question :
Montrer que \Phi est linéaire .
Mon essai:
Soit  A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) , comme la trace est linéaire et que (\Phi(E_{i,j}))_{ij} est une base de \mathcal{M}_n(\mathbb{C})  et tenant compte de la formule précèdent  alors Tr((\Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B))M)= 0. pour toute matrice  M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) donc  \Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B) = 0.
 \\ c-à-d \Phi(A + B) =\Phi(A) +\Phi(B) = 0.
 \\
Alors, pour tout  n\in \mathbb{N} \setminus \{0\} :   \Phi(nA) =n\Phi(A). De plus \Phi(0) =\Phi(0) +\Phi(0) alors  \Phi(0)=0 donc \Phi(-A) =\Phi(A) . Alors pour tout  n\in \mathbb{Z} : \Phi(nA) =n\Phi(A). Pour tout n\in \mathbb{Z} \setminus \{0\} : \Phi(A) =n\Phi(\frac{1}{n} A) donc  \Phi(\frac{1}{n} A) =\frac{1}{n}\Phi(A). D'où pour tout q\in \mathbb{Q} : \Phi(qA) =q\Phi( A)  

Mon problem est de montrer que : pour tout  r\in \mathbb{R} : \Phi(rA) =r\Phi( A).
Soit   r\in \mathbb{R} et (q_n)_n\subset \mathbb{Q} tel que q_n\to r lorsque  n\to +\infty  one pour tout n\geq 0  on a  \Phi(q_nA) =q_n\Phi( A), est-ce que on peut passer à la limite pour dire que   \Phi(rA) =r\Phi( A)? Sinon; existe-t-il autre méthode?

Posté par
GBZM
re : Montrer que [tex]\Phi[/tex] est linéaire . 22-07-21 à 07:27

Bonjour,

Visiblement il s'agit d'une question d'un long exercice au cours duquel on a déjà démontré plein de choses sur \Phi.  Une de ces choses va servir à démontrer que pour tout réel ret toute matrice A, \Phi(rA)=r\Phi(A). L'additivité de \Phi a elle seule ne suffit pas.

Peux-tu donner l'énoncé complet et exact de ton exercice ?



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