Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Montrer que [tex]\Phi[/tex] est linéaire .

Posté par
kArMH 21-07-21 à 19:21

Bonjour à tous

$\Phi$   désigne une application de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lui-même telle que, pour tout couple $(A,B)$ d'éléments de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , les matrices $\Phi(A)\Phi(B)$ et $AB$ aient le même polynôme caractéristique. On admet que la famille $(\Phi(E_{i,j}))_{ij}$ est une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et que, pour tout $(i, j) \in\{ 1,...,n\}^2$ , $Tr((\Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B))\Phi(E_{i,j}))= 0.$

Question :
Montrer que $\Phi$ est linéaire .
Mon essai:
Soit   $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , comme la trace est linéaire et que $(\Phi(E_{i,j}))_{ij}$ est une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$   et tenant compte de la formule précèdent  alors $Tr((\Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B))M)= 0.$ pour toute matrice   $M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ donc   $\Phi(A + B) -\Phi(A) -\Phi(B) = 0. \\$ c-à-d $\Phi(A + B) =\Phi(A) +\Phi(B) = 0. \\$
Alors, pour tout   $n\in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ :   $\Phi(nA) =n\Phi(A)$ . De plus $\Phi(0) =\Phi(0) +\Phi(0)$ alors   $\Phi(0)=0$ donc $\Phi(-A) =\Phi(A)$ . Alors pour tout   $n\in \mathbb{Z}$ : $\Phi(nA) =n\Phi(A)$ . Pour tout $n\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ : $\Phi(A) =n\Phi(\frac{1}{n} A)$ donc   $\Phi(\frac{1}{n} A) =\frac{1}{n}\Phi(A)$ . D'où pour tout $q\in \mathbb{Q}$ : $\Phi(qA) =q\Phi( A)$

Mon problem est de montrer que : pour tout   $r\in \mathbb{R}$ : $\Phi(rA) =r\Phi( A)$ .
Soit   $r\in \mathbb{R}$ et $(q_n)_n\subset \mathbb{Q}$ tel que $q_n\to r$ lorsque $n\to +\infty$   one pour tout $n\geq 0$   on a   $\Phi(q_nA) =q_n\Phi( A)$ , est-ce que on peut passer à la limite pour dire que   $\Phi(rA) =r\Phi( A)$ ? Sinon; existe-t-il autre méthode?

Posté par re : Montrer que [tex]\Phi[/tex] est linéaire . 22-07-21 à 07:27

Bonjour,

Visiblement il s'agit d'une question d'un long exercice au cours duquel on a déjà démontré plein de choses sur $\Phi$ . Une de ces choses va servir à démontrer que pour tout réel $r$ et toute matrice $A$ , $\Phi(rA)=r\Phi(A)$ . L'additivité de $\Phi$ a elle seule ne suffit pas.

Peux-tu donner l'énoncé complet et exact de ton exercice ?

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