Niveau Maths sup

Montrer que toute similitude directe est de la forme s(z)=az+b

Posté par
Aguelord 31-10-18 à 16:59

Voici l'énoncé :
On veut montrer que toute similitude directe est de la forme S(z)=az+b ou a =/= 0
Soit s : C --> C, une similitude directe
Soit b = s(0)
Soit a = s(1) - b
Montrer que pour tout z de C, s(z) = az+b et que a =/= 0

Le résultat paraît évident.. mais je ne sais pas comment le montrer
C'est une sorte d'analyse et synthèse "inversée" où l'on connait des valeurs particulière et devons déduire la forme générale
Merci de m'éclairer

Posté par re : Montrer que toute similitude directe est de la forme s(z)=a 31-10-18 à 17:03

J'oubliais : on a montré avant que l'application de C dans C Sa,b(z) = az+b était bijective pour a different de 0 et que c'était une similitude directe pour tout z différent de 0.

Posté par re : Montrer que toute similitude directe est de la forme s(z)=a 31-10-18 à 17:27

Bonjour Aguelord.

On va repartir de la définition d'une similitude : c'est une transformation du plan (donc une bijection du plan, par définition) qui multiplie les distances par un réel k > 0.

Soit s une similitude directe, de rapport k.
Soit A le point d'affixe 1 et O l'origine du plan complexe.
Soit A', d'affixe a, l'image de A par s et O', d'affixe b, l'image de O par s.

Pour tout M du plan, d'affixe z, on note M', d'affixe z', l'image de M par s.

On va s'intéresser aux quotients

$\left|\dfrac{z'-b}{a-b}\right|=\dfrac{|z'-b|}{|a-b|}=\dfrac{O'M'}{O'A'}=\dfrac{kOM}{kOA}= \dfrac{|z-z_O|}{|z_A-z_O|}= \left|\dfrac{z-z_O}{z_A-z_O}\right|$

De plus, la similitude s est supposée directe donc :

$\arg\left(\dfrac{z'-b}{a-b}\right)=\arg\left(\dfrac{z-z_O}{z_A-z_O}\right)$

Ainsi, les nombres complexes $\dfrac{z'-b}{a-b}$ et $\dfrac{z-z_O}{z_A-z_O}$ ont des modules égaux et des arguments égaux. Donc

$\dfrac{z'-b}{a-b}=\dfrac{z-0}{z-1}\Leftrightarrow \dfrac{z'-b}{a-b} =z\Leftrightarrow z' = (a-b)z+b$

L'expression de s est donc $s(z) = (a-b)z + b$ donc de la forme $s(z) = Az + B$ .

Posté par re : Montrer que toute similitude directe est de la forme s(z)=a 31-10-18 à 17:30

Bonjour, merci de votre réponse, j'avais fini par trouver, en traduisant les conditions initiales de l'énoncé d'un point de vue géométrique et un dessin pour m'aider, et j'ai fait quelque chose d'assez semblable à votre démonstration
Bonne soirée