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Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge

Posté par
nidya 22-08-17 à 20:21

Bonsoir

L'énoncé est:
"soit a,b réels tels que |a| < 1 et on pose la suite Un tel que U0 est complexe et pour tout n dans N,
Un+1 = a sin(Un)+b

1) Montrer que |Un+1 - Un| =< |a|^n * |U1-U0| puis que Un converge


Déjà c'est la premiere fois que j'entend parler de sinus d'un nombre complexe
Ensuite mes pistes sont de montrer que |Un+1-Un| =< |a| |Un-Un-1| puis par recurrence on a le resultat mais je suis bloqué avec |Un+1-Un| = |a| |sin(Un)-sin(Un-1)|
ou en bidouillant avec la formule d'Euler du sinus j'ai |Un+1-Un| = |a| |ch(Im(Un)) + ch(Im(Un-1))|

Merci d'avance pour l'aide

Posté par
Iderdenre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 22-08-17 à 20:46

Salut,

Une piste : tu peux appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction qui à t associe sin(t), sur l'intervalle [x,y] ...

Posté par
nidyare : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 22-08-17 à 21:17

Merci je me sens bete

Posté par
luzakre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 23-08-17 à 09:32

Bonjour !
@Iderden : pas sûr que l'inégalité des accroissements finis soit bien connue pour les fonctions d'une variable complexe !
Et de toute façons la fonction complexe z\mapsto\cos z n'est pas majorée !

@nidya. Es-tu sûre que c'est u_0 qui est non réel, pas seulement a,b?
Car j'ai des doutes sur la majoration attendue : il me semble qu'on ait besoin de majorer |\cos z| par 1, ce qui est faux.

Posté par
nidyare : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 23-08-17 à 13:36

Bonjour, je revenais justement pour dire que j'avais effectivement vu sur google que cos n'est pas bornée sur C

Et oui je suis sûr de l'énoncé : a,b réel mais U0 complexe !

Posté par
Iderdenre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 24-08-17 à 13:24

Ah mais oui, merci luzak !

Toute fonction entière bornée est constante ...

Le cosinus et le sinus ne risquaient pas d'être bornés !

Posté par
nidyare : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 25-08-17 à 23:00

Y-a-t-il une erreur du professeur dans l'énoncé peut être ? Peut que c'est sin ( |Un| ) qu'il a voulu mettre ou bien U0 réel ? Car ca commence a faire 2-3 jours que je planche dessus

Posté par
jokassre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 26-08-17 à 09:42

Salut,

j'ai pas encore d'idée méga précise mais je pense en effet que le fait que a soit < 1 joue un rôle pour contrôler le sinus.

Car certe il n'est pas borné sur mais ici on a pas sin(z), on a une autre fonction donc peut être ne pas aller trop vite...

Par exemple, il faut essayer de voir si la partie imaginaire du nombre complexe que l'on obtient parvient à se stabiliser.

Mon intuition c'est que à cause du |a|<1 la partie imaginaire du nombre complexe Un+1 va faire en sorte que le sinus obtenus soit réel.
Si il devient réel ne serait-ce qu'une foi, il le sera tout le temps, puisque combinaison linéaire de réel, avec a et b réel.

Voilà la piste que je propose, chercher un moyen de prouver que au bout d'un certain rang le sinus devient réel.

Posté par
nidyare : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 26-08-17 à 17:58

En fait il y a ecrit "Montrer que pour tout n  |Un+1 - Un| =< |a|^n |U1-U0|

Donc s'il existe un tel rang N tel que  le sinus est reel à partir de ce rang on peut appliquer l'inégalité des accroissement finis pour les n>=N mais qu'en sera-il des n<N ?

Posté par
luzakre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 27-08-17 à 08:40

Prenons un cas particulier :
b=0,\;u_0=i.
Sauf erreur on a alors u_n=iv_n,\;v_n\in\R et v_0=1,\;v_{n+1}=-a\sinh(v_n).
Pour -1<a<\dfrac{-1}{\cosh(1)} la suite v est divergente.

Il me semble donc impossible de prétendre, dans tous les cas, à l'inégalité demandée. Cet énoncé est à revoir...

Un conseil : essaies plusieurs valeurs de a,b et u_0=i. Avec une calculette tu verras qu'il y a un problème !

Posté par
nidyare : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 27-08-17 à 13:17

Une erreur dans l'énoncé  du coup.. merci de l'aide   !

Posté par
Razesre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 27-08-17 à 18:16

Bonjour,

u_{n+1}=a\sin {u_n}+b

Utilisons l'identité trigonométrique: \sin p-\sin q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}

u_{n+1}-u_n=a\left (\sin u_{n}-\sin u_{n-1} \right )=2a\cos \left ({\dfrac {u_{n}+u_{n-1}}{2}}\right )\sin \left ({\dfrac {u_{n}-u_{n-1}}{2}} \right )

Donc: \left |u_{n+1}-u_n \right |\leqslant 2\left | a \right | \left | \sin \left ({\dfrac {u_{n}-u_{n-1}}{2}} \right ) \right |

Nous avons aussi (facile à démontrer); \forall x\in\mathbb{R}; \left | \sin x \right |\leqslant \left | x \right |, d'où:

\left |u_{n+1}-u_n\right |\leqslant \left | a \right |\left | u_{n}-u_{n-1} \right |\leqslant  \left | a \right |^{n}\left | u_{1}-u_{0} \right |; Avec :  \left | a\right |< 1
CQFD

Posté par
Razesre : Montrer que Un+1 = asin(Un) + b converge 27-08-17 à 18:18

Désolé, j'ai oublié que c'est sur \mathbb{C}


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