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Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points

Posté par
Bidall 03-06-18 à 15:50

Bonjour ^^

J'ai cette question que je ne savais pas comment dois-je la faire :/

Soit fn la fonction definie par : fn (x) =e^x(1-x)^n
Montrer que toutes les courbes Cn passent par deux points A et B

Posté par
patrice rabillerre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 15:58

Bonjour,

Une piste :
-> prendre 2 valeurs particulières de n,
-> rechercher l'intersection des 2 courbes particulières,
-> montrer que toutes les courbes passent par ce point d'intersection.

Posté par
patrice rabillerre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 16:00

Plus précisément :
-> prendre 2 valeurs particulières de n
-> rechercher les points d'intersection de ces 2 courbes particulières,
-> montrer que toutes les courbes passent par ces points d'intersection.

Posté par
malou Webmasterre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 16:02

dans ce type d'exercice il est bon de dire à quel ensemble appartient n
.....

Posté par
Bidallre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 16:07

malou @ 03-06-2018 à 16:02

dans ce type d'exercice il est bon de dire à quel ensemble appartient n
.....


n appartient a N*

Posté par
malou Webmasterre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 16:44

OK, tu as trouvé ?

Posté par
Bidallre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 17:33

malou @ 03-06-2018 à 16:44

OK, tu as trouvé ?

Non

Posté par
malou Webmasterre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 17:34

cherche l'intersection de C1 et de C2
écris comment tu fais

Posté par
carpediemre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 17:40

PS : c'est c'est du calcul mental élémentaire ... basée sur le calcul des exposants (pour ne pas dire exponentiel) appris au collège ...



sinon il reste la méthode classique : ce qui est vrai pour toutes les courbes C_n est vrai pour les courbes C_1 et C_2 ... comme il a été dit ...

Posté par
alb12re : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 17:54

salut,
alternative
1/ tracer 2 courbes de la famille
2/ conjecturer les coordonnees des points A et B
3/ demontrer la conjecture

Posté par
Aalex00re : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 18:45

Bonjour,

Tu peux remarquer que le n est lié au ${(1-x)}^n$. Ce que j'essai de dire c'est qu'en trouvant 2 valeurs de x tel que ${(1-x)}^n$ ait la même valeur indépendamment de n, tu auras la réponse.

Posté par
Aalex00re : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 18:46

Qu'est-ce qui à la puissance n (pour n entier strictement positif) reste inchangé ?

Posté par
ZEDMATre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 03-06-18 à 23:35

Bonsoir,
Et au final, faute de mieux, on peut ... faire un dessin avec un grapheur et essayer de comprendre les explications qui précèdent.

Bonne nuit.


Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points

Posté par
Cherchellre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 06-06-18 à 07:52

Le principe est celui expliqué au départ : tu prends deux valeurs distinctes de n : n = 1 et n = 2 (les plus simples possibles)
f_1(x)=x e^x et f_2(x)=x^2 e^x
tu cherches les points d'intersection des 2 courbes :

x e^x=x^2 e^x soit en factorisant x(1 -x) e^x=0 donc soit x = 0 soit x = 1
f_1(0)=0  et f_1(1)=e donc on a deux points A(0; 1) et B(1; e)  points d'intersection des courbes C 1 et C 2
Il reste à vérifier que pour tout n ces points appartiennent à la courbe C n
f_n(0)=0 et f_n(1)=1 donc A et B sont deux points de C n
Toutes les courbesC n passent par les deux points A et B.

Posté par
mathafou Moderateurre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 06-06-18 à 08:06

Bonjour
sauf que tes calculs ne prennent pas les fonctions données de départ ...

ce n'est pas f(x) = x^n e^x mais ({\red 1- x})^n e^x

sinon le principe est effectivement le même mais les points fixes sont différents

Posté par
Bidallre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 16:42

Cherchell @ 06-06-2018 à 07:52

Le principe est celui expliqué au départ : tu prends deux valeurs distinctes de n : n = 1 et n = 2 (les plus simples possibles)
f_1(x)=x e^x et f_2(x)=x^2 e^x
tu cherches les points d'intersection des 2 courbes :

x e^x=x^2 e^x soit en factorisant x(1 -x) e^x=0 donc soit x = 0 soit x = 1
f_1(0)=0  et f_1(1)=e donc on a deux points A(0; 1) et B(1; e)  points d'intersection des courbes C 1 et C 2
Il reste à vérifier que pour tout n ces points appartiennent à la courbe C n
f_n(0)=0 et f_n(1)=1 donc A et B sont deux points de C n
Toutes les courbesC n passent par les deux points A et B.


C'est pas xe^x , c'est e^x(1-x)^n
Mais j'ai suivi les ètapes que vous avez mentionnèes  : )

fn(x)=e^x(1-x)^n \\ \\ f1(x)=e^x(1-x) \\ f2(x)=e^x(1-x)^2 \\ \\ Soit  d(x) = f2(x)-f1(x) \\ d(x)= e^x(1-x)^2 -e^x(1-x) \\ =e^x(1-x)((1-x)-1) \\ =e^x(1-x)-x \\ =-xe^x(1-x) \\ \\ Si d(x)=0 => -x=0   ou   1-x = 0 \\ \\ donc   x=0   ou   x=1

Posté par
alb12re : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 17:05

ce qui ne repond pas pour l'instant à la question initiale

Posté par
mathafou Moderateurre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 17:51

le retour après deux jours de calculs ??

ce n'est que le début
tu t'es arrêté à
".. soit en factorisant .. donc soit x = 0 soit x = 1"

et la suite de la méthode alors ??

cette méthode "lourdingue" est toutefois évitable avec un peu d'astuce !!
"c'est évident"
(messages de Aalex00, et sans doute de carpediem)

Posté par
carpediemre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 19:03

et sans aucun doute ouam !!

si on connait les règles du calcul exponentiel (apprises au collège) il n'y a que peu de valeurs laissant stable ou constant un calcul exponentiel

sans oublier bien évidemment que le calcul exponentiel est intimement lié au produit ... ce qui renforce encore ce qui précède ...

Posté par
carpediemre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 19:06

la variable apparaissant et en argument (d'un exposant n variable) et en exposant (d'une constante) il n'y a que (deux fois) une solution à tester (puisqu'on nous le dit dans l'énoncé) ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Montrons que toutes les courbes Cn passent par deux points 08-06-18 à 19:09

mon "sans doute" était de trop
j'ai modifié mon message pendant sa rédaction et ce "sans doute" était devenu inutile (et prêtant à confusion)
il était là au départ parce que je citais les messages dans lesquels Aalex00 disait explicitement ce qu'il en était alors que tu ne faisais que le suggérer.


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