Bonjour, si quelqu'un peut m'aider avec des indications pour commencer ce dm. Merci
Soit p un nombre premier. Le but de ce devoir est de démontrer le théorème suivant
(T) Tout groupe abélien d'ordre divisible par p contient un sous-groupe d'ordre p.
Le cardinal d'un ensemble fini E est noté |E|.
1. Soit f : G → G′ un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau est noté K := {g ∈ G/f(g) = e′}.
(a) Démontrer que pour tout g′ dans G′, la pré-image
f^(−1)({g′}) := {g ∈ G / f(g) = g′}
est en bijection avec K.
(b) En déduire que si G et G′ sont finis, alors |G| = |K||G′|.
2. Dans ce qui suit, (G,+,0) désigne un groupe abélien fini, d'ordre n divisible par p. Démontrer que G admet un sous-groupe d'ordre p si et seulement si G contient un élément d'ordre divisible par p.
3. Démontrons le théorème (T) par l'absurde.
Supposons que G n'admet aucun sous-groupe d'ordre p et notons g1, ..., gn ses n éléments, d'ordres respectifs m1, ..., mn.
(a) Soit m le plus petit multiple commun de m1, ..., mn. Justifier que m est premier avec p.
(b) Démontrer que l'application f : (Z/mZ)^n → G définie par f([a1],··· ,[an]) := g1^a1 ···gn^an est un homomorphisme de groupes bien défini et surjectif.
(c) En déduire que n divise m^n et aboutir à une contradiction. Conclure
Je viens tout juste de commencer.
À la première question. J'ai essayé de montrer que les deux ensembles ont les mêmes dimensions au début mais je pense pas que ça soit la bonne méthode ici...
J'ai juste besoin de quelques questions intermédiaires ou d'indications je pense pour démarrer l'exercice.
D'accord.
Donc faut que je montre que l'image réciproque de e' dans G' ( ker f) est égale à f^-1(g).
Donc f^-1(e')=f^-1(g) en utilisant la remarque?
Non, c'est faux! L'image réciproque de e' est le noyau K.
L'indication permet de construire un isomorphisme entre K et pour g' fixé.
J'y arrive toujours pas malgré vos explications. Mais j'ai réussi la (b) (plus facile) et un sens de la demonstration du (2).
Pour la a j'ai essayé d'utiliser le fait que on a une application surjective et que forcément la relation f(g)=g' peut se réécrire f(g)=f(x) pour un x dans G.
Donc on a que f(g)f^-(x)=e ( et là je bloque faut-il utiliser le fait que f soit un morphisme de groupe? Et dans quel but?)
Bon allons-y.
Soit . Comme est surjective, il existe tel que (j'ai repris tes notations).
Soit . On a . Donc
Mais est un morphisme, donc et alors
. J'ai vraiment tout détaillé!
Ceci prouve que . Je te laisse démontrer que l'application définie par est bijective.
Ahhh je vois maintenant merci!!! je vais m'y mettre je pense que c'est bon pour la suite.. sinon je demanderai de l'aide encore sûrement
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