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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Morphisme

Posté par
Lapioche96
01-03-21 à 14:33

Bonjour, si quelqu'un peut m'aider avec des indications pour commencer ce dm. Merci

Soit p un nombre premier. Le but de ce devoir est de démontrer le théorème suivant
(T) Tout groupe abélien d'ordre divisible par p contient un sous-groupe d'ordre p.
Le cardinal d'un ensemble fini E est noté |E|.
1. Soit f : G → G′ un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau est noté K := {g ∈ G/f(g) = e′}.
(a) Démontrer que pour tout g′ dans G′, la pré-image
f^(−1)({g′}) := {g ∈ G / f(g) = g′}
est en bijection avec K.
(b) En déduire que si G et G′ sont finis, alors |G| = |K||G′|.
2. Dans ce qui suit, (G,+,0) désigne un groupe abélien fini, d'ordre n divisible par p. Démontrer que G admet un sous-groupe d'ordre p si et seulement si G contient un élément d'ordre divisible par p.
3. Démontrons le théorème (T) par l'absurde.
Supposons que G n'admet aucun sous-groupe d'ordre p et notons g1, ..., gn ses n éléments, d'ordres respectifs m1, ..., mn.
(a) Soit m le plus petit multiple commun de m1, ..., mn. Justifier que m est premier avec p.
(b) Démontrer que l'application f : (Z/mZ)^n → G définie par f([a1],··· ,[an]) := g1^a1 ···gn^an est un homomorphisme de groupes bien défini et surjectif.
(c) En déduire que n divise m^n et aboutir à une contradiction. Conclure

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme 01-03-21 à 14:36

Bonjour

Où en es-tu?

Posté par
Lapioche96
re : Morphisme 01-03-21 à 14:42

Je viens tout juste de commencer.
À la première question. J'ai essayé de montrer que les deux ensembles ont les mêmes dimensions au début mais je pense pas que ça soit la bonne méthode ici...
J'ai juste besoin de quelques questions intermédiaires ou d'indications je pense pour démarrer  l'exercice.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme 01-03-21 à 14:49

D'abord il n'est pas question de dimension, mais de cardinal.

Pour 1. tu peux remarquer que l'on a

f(g)=f(g')\Longleftrightarrow f(g)f(g'^{-1})=e

Posté par
Lapioche96
re : Morphisme 01-03-21 à 15:04

D'accord.


Donc faut que je montre que l'image réciproque de e' dans G' ( ker f) est égale à f^-1(g).
Donc f^-1(e')=f^-1(g) en utilisant la remarque?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme 01-03-21 à 15:07

Non, c'est faux! L'image réciproque de e' est le noyau K.
L'indication permet de construire un isomorphisme entre K et f^{-1}(g') pour g' fixé.

Posté par
Lapioche96
re : Morphisme 01-03-21 à 15:34

J'y arrive toujours pas malgré vos explications. Mais j'ai réussi  la (b) (plus facile) et un sens de la demonstration  du (2).

Pour la a j'ai essayé d'utiliser le fait que on a une application surjective et que forcément la relation f(g)=g' peut se réécrire f(g)=f(x) pour un x dans G.
Donc on a que f(g)f^-(x)=e ( et là je bloque faut-il utiliser le fait que f soit un morphisme de groupe? Et dans quel but?)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme 01-03-21 à 15:45

Bon allons-y.
Soit g'\in G'. Comme f est surjective, il existe x tel que f(x)=g' (j'ai repris tes notations).
Soit g\in f^{-1}(g'). On a f(g)=g'=f(x). Donc f(g)(f(x))^{-1}=e'
Mais f est un morphisme, donc f(x)^{-1}=f(x^{-1}) et alors
f(g)(f(x))^{-1}=f(gx^{-1})=e'. J'ai vraiment tout détaillé!
Ceci prouve que gx^{-1}\in K. Je te laisse démontrer que l'application \varphi:K\to f^{-1}(g') définie par \varphi(k)=xk est bijective.

Posté par
Lapioche96
re : Morphisme 01-03-21 à 16:01

Ahhh je vois maintenant merci!!! je vais m'y mettre je pense que c'est bon pour la suite.. sinon je demanderai de l'aide encore sûrement

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme 01-03-21 à 16:06

La suite ne devrait pas poser problème. Bien sur tu peux revenir... quelqu'un me remplacera!



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