Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Morphisme anneau surjectif

Posté par
Serbiwni 26-02-21 à 17:14

Bonjour ! Je souhaite comprendre pourquoi la condition en rouge est nécessaire à la résolution de cet exercice :
Soit A un anneau et \alpha \in Z(A) un élément du centre de A. Montrer que l'application \psi : A[x] \to A définie par \psi(f) = f(\alpha) est un morphisme d'anneaux surjectif.

A[x] est l'anneau des polynômes à coefficients dans A. Mon hypothèse est que la condition intervient lorsque l'on montre que \psi est un morphisme au niveau multiplicatif mais j'ai du mal à voir pourquoi. En passant, ce morphisme est bien surjectif car \forall y \in A, \psi(p) = y où p(x) = y un polynôme constant ?

Posté par
Ulmierere : Morphisme anneau surjectif 26-02-21 à 17:26

C'est évidemment un morphisme de groupes surjectif.
Pour que ce soit un morphisme d'anneaux, on demande que f(\alpha)g(\alpha) = (fg)(\alpha). Cela n'est pas automatique en général.

Prends par exemple f(X) = aX et g(X) = bX.
T'as envie de dire que f(X)g(X) = abX^2 ? Et ben c'est loupé. A n'est pas supposé commutatif, donc il peut très bien exister un c\in A tel que acbc\neq abc^2.
En revanche, si tu évalues en \alpha\inZ(A), \alpha commute avec tous les éléments de A, donc ses puissances aussi et donc tu auras bien, pour tous a,b,n,m, l'égalité a\alpha^nb\alpha^m = ab\alpha^{n+m}

Posté par
Ulmierere : Morphisme anneau surjectif 26-02-21 à 17:27

lire "en \alpha\in Z(A)"

Posté par
Serbiwnire : Morphisme anneau surjectif 26-02-21 à 18:21

Parfait merci !

Posté par
Ulmierere : Morphisme anneau surjectif 27-02-21 à 12:09


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !