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Niveau Maths sup
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Morphisme de groupe engendré

Posté par
Serbiwni
28-11-20 à 12:59

Bonjour ! J'aimerais votre avis sur ce que je propose pour montrer l'énoncé suivant :
Soient G, H deux groupes, et supposons que G = <g1, . . . , gr> (que G est engendré par g1, . . . , gr).
Montrez que la fonction f entre ensembles
Hom(G, H) → H⊕r qui à une fonction ϕ associe f(ϕ) =  (ϕ(g1), . . . , ϕ(gr))
est injective. Ici Hom(G, H) désigne l'ensemble des homomorphismes de groupes de
G vers H.

Pour montrer que f est injective je fais la chose suivante :
Soient \phi et \varphi deux morphismes de G vers H tels que f(\phi)=f(\varphi), montrons que \phi = \varphi i.e. \forall x \in G, \phi(x) = \varphi(x) :
On a (\phi(g_1),...,\phi(g_r)) = (\varphi(g_1),...,\varphi(g_r)) d'où l'on tire que \forall i \in \{0,1,...,r\}, \phi(g_i)=\varphi(g_i). De plus, G est
engendré par g_1,...,g_r càd \forall x \in G, x = g_1^k . ... . g_r^j avec k, j \in \mathbb Z.
Donc \phi(x) = \phi(g_1^k . ... . g_r^j) = \phi(g_1^k)...\phi(g_r^j) = \phi(g_1)^k...\phi(g_r)^j=\varphi(g_1)^k...\varphi(g_r)^j=\varphi(g_1^k)...\varphi(g_r^j)=\varphi(g_1^k . ... . g_r^j)=\varphi(x). Donc f est injective

Posté par
Ulmiere
re : Morphisme de groupe engendré 28-11-20 à 13:44

C'est correct, mais tes notations k,j sont mauvaises.
Remplace la fin de ta démonstration par :
Soit x \in G. Il existe (i_1,\cdots i_r)\in\mathbb{Z}^r  tq  x = \prod_{k=1}^r g_k^{i_k}.

Alors
\phi(x) = \phi\left(\prod_{k=1}^r g_k^{i_k}\right) = \prod_{k=1}^r \phi(g_k^{i_k}) = \prod_{k=1}^r \phi(g_k)^{i_k} = \prod_{k=1}^r \varphi(g_k)^{i_k} = \prod_{k=1}^r \varphi(g_k^{i_k}) = \varphi\left(\prod_{k=1}^r g_k^{i_k}\right) = \varphi(x)

Posté par
Serbiwni
re : Morphisme de groupe engendré 28-11-20 à 14:47

Ulmiere @ 28-11-2020 à 13:44

C'est correct, mais tes notations k,j sont mauvaises.
Remplace la fin de ta démonstration par :
Soit x \in G. Il existe (i_1,\cdots i_r)\in\mathbb{Z}^r  tq  x = \prod_{k=1}^r g_k^{i_k}.

Alors
\phi(x) = \phi\left(\prod_{k=1}^r g_k^{i_k}\right) = \prod_{k=1}^r \phi(g_k^{i_k}) = \prod_{k=1}^r \phi(g_k)^{i_k} = \prod_{k=1}^r \varphi(g_k)^{i_k} = \prod_{k=1}^r \varphi(g_k^{i_k}) = \varphi\left(\prod_{k=1}^r g_k^{i_k}\right) = \varphi(x)

Effectivement, un peu paresseux j'ai volontairement manqué de rigueur sur ce point là, je vais plutôt utiliser ça, merci



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