Bonjour ! J'aimerais votre avis sur ce que je propose pour montrer l'énoncé suivant :
Soient G, H deux groupes, et supposons que G = <g1, . . . , gr> (que G est engendré par g1, . . . , gr).
Montrez que la fonction f entre ensembles
Hom(G, H) → H⊕r qui à une fonction ϕ associe f(ϕ) = (ϕ(g1), . . . , ϕ(gr))
est injective. Ici Hom(G, H) désigne l'ensemble des homomorphismes de groupes de
G vers H.
Pour montrer que f est injective je fais la chose suivante :
Soient et deux morphismes de G vers H tels que , montrons que i.e. :
On a = d'où l'on tire que , . De plus, G est
engendré par càd avec .
Donc . Donc f est injective
C'est correct, mais tes notations k,j sont mauvaises.
Remplace la fin de ta démonstration par :
Soit . Il existe tq .
Alors
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