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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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morphisme entre deux ensembles des unités

Posté par
mousse42
03-03-21 à 19:01

Bonjour

On a le théorème suivant :

Si d\mid m alors il existe morphisme surjectif de (\Z/m\Z)^\times vers  (\Z/d\Z)^\times tel que h :x \pmod m \mapsto x\pmod d

Pouvez-vous me donner un indice pour montrer la surjectivité, dans mon cours il est dit que ce n'est pas démontrable élémentairement...est-ce si difficile?

Posté par
verdurin
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 19:21

Bonsoir,
le fait que l'application donnée soit surjective de  (\Z/m\Z) vers (\Z/d\Z) me semble évident.
Et sans l'avoir fait il me semble que la surjectivité de  (\Z/m\Z)^\times vers  (\Z/d\Z)^\times ne doit pas vraiment poser de problème.

Ce qui me semble plus difficile est de montrer qu'il s'agit bien d'un morphisme.

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 20:17

ok, merci, je vais creuser

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 20:21

en gros ça revient à montrer que

\left\{\begin{array}{ll} (a,d)=1\\d\mid m\end{array}\implies (a,m)=1

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 20:38

au fait c'est pas si simple, et je viens de comprendre l'intérêt du résultat juste avant ce théorème qui dit ceci :

Soit m\in \N^* et d un diviseur de m.

Si (a,d)=1 alors il existe x\in a+d\Z tel que (x,m)=1

Je crois donc que ce résultat me permet de conclure à la surjectivité.

Posté par
verdurin
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 21:35

mousse42 @ 03-03-2021 à 20:21

en gros ça revient à montrer que

\left\{\begin{array}{ll} (a,d)=1\\d\mid m\end{array}\implies (a,m)=1

Ça c'est faux.
Par exemple (2\,,3)=1 et 2\mid 6 mais (2\,,6)=2.

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 03-03-21 à 21:43

oui, merci verdurin,  comme ceci c'est mieux :

\left\{\begin{array}{ll} (a,d)=1\\d\mid m\end{array}\implies \exists x\in a+d\Z,\;(x,m)=1

Le problème est que le commentaire du prof m'a trompé, car la surjectivité est triviale à l'aide de ce résultat.

Posté par
GBZM
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 10:24

Bonjour,

Et as-tu une démonstration élémentaire de ce résultat ?

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 10:50

Bonjour
GBZM : si ta question porte sur le qualificatif "élémentaire", en effet la démonstration n'est pas élémentaire, mais n'est-ce pas plus simple de dire "pour la surjectivité on applique la proposition n°...".

Sinon l'idée de la démo est qu'à partir du théorème des restes chinois on trouve un x\in \Z tel que x=a\pmod D et x=1\pmod {m'} avec D le diviseur saturé de m associé à d et m=Dm'
 \\   

Posté par
GBZM
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 11:11

La propriété "non élémentaire" n'est qu'une traduction de la surjectivité pour les groupes multiplicatifs. La remarque que cette surjectivité ne se démontre pas élémentairement est donc justifiée.

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 11:28

GBZM

La propriété "non élémentaire" n'est qu'une traduction de la surjectivité pour les groupes multiplicatifs


Je ne comprends pas cette phrase, pour moi  élémentaire=rudimentaire

Posté par
GBZM
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 13:22

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

Ce que je dis, c'est que la démonstration de la surjectivité se décompose en deux étapes :
1°) La traduction de la surjectivité en la propriété que si a et d sont premiers entre eux et si d divise m, alors il y a un élément de a+d\Z qui est premier avec m ; faire cette traduction est trivial.
2°) La démonstration de cette propriété. C'est là le coeur de la démonstration de la surjectivité, et c'est non trivial.

Posté par
mousse42
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 13:33

C'est normal car j'ai compris ce que voulais dire le prof à partir du message  posté à 04-03-21 à 10:24.
Je trouve ce commentaire ("n'est pas démontrable élémentairement") inutile, voire nuisible.

Posté par
GBZM
re : morphisme entre deux ensembles des unités 04-03-21 à 13:59

Si tu as compris, c'est bien, et le commentaire du prof est tout à fait approprié. On ne juge pas de la difficulté d'une démonstration sur sa dernière étape triviale.



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